Teorema de incompletitud de Gödel


Kurt F. Gödel, en «Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines» [paráfrasis]:

«Existen argumentos lógicos imposibles de ser deducidos verdaderos o falsos; entre ellos, la coherencia de dichos razonamientos.»

La existencia verdadera o falsa de algo (por ejemplo, las piedras; al contrario, las hadas), no implica que la misma sea demostrable así, ni que deba o no tenerse fe en cualquiera de estas posibilidades.

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La creatividad surge de hallar –pensando diferente del resto– ideas absurdas, para así nuevamente pensarlas y darles coherencia.

Ahí la importancia de la Lógica: porque sólo con ella es posible tanto hallar los absurdos como obtener la coherencia.

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jueves, 27 de diciembre de 2012

DUNS SCOTO

Con un sistema formal funcional (que aparentemente es consistente), se pueden establecer comparaciones con sistemas que pretenden lo mismo. Así, por ejemplo, todas las teorías matemáticas avalan la correctitud que hasta el momento presentan los Principia Mathematica (PM), o también, todas las teorías científicas son compatibles con el principio de cientificidad (una vez formalizada la Ciencia en sistemas como De la ciencia formal).

Duns Scoto plantea un sistema lógico no formal (DS) pero que es susceptible de análisis. Se hará respecto a la suma de varios sistemas formales. DS fue propuesto con base en las ideas de Santo Tomás de Aquino en la Summa Theologica, y justo cuando la Lógica aún era discursiva y cuando faltaba mucho para obtener una formalización seria de la Matemática. Ahora, con la existencia de la Lógica formal y de sistemas como De la ciencia formal se puede corregir cada defecto derivado del discurso informal.

Como nota preliminar a este trabajo, se siguen los axiomas de la lógica de primer orden y las siguientes abreviaciones simbólicas: a) el operador va al comienzo y las expresiones operadas a continuación del mismo tal que sólo se toma como sea legible dicha expresión, y b) los cuantificadores se agrupan en uno solo. O sea, A↔B se representa en este sentido como ↔AB. También se tiene →ΛABC que se lee ordinariamente (AΛB)→C. Igualmente se puede tener A=B como =AB. De los cuantificadores, ∀a∀b∀c quedaría como ∀abc.

LENGUAJE FORMAL Y AXIOMÁTICO DS.

Axioma 1. Un intelecto infinito es solamente el único en número. Formalmente:

pf→↔OpfΦ→ΦΨ donde Opf dice p es el principio de f, Φ es un axioma dado y Ψ el teorema deducible del hallazgo del principio a partir de f y que se traduce en el axioma Φ.

La parte del intelecto infinito se cumple por el generalizador en el principio de cientificidad. Como se trata de un solo axioma de cientificidad, se asume que la condición ser único en número es válida.

Cabe decirse que el lenguaje original de DS es ambiguo, de allí la frase lógica discursiva. Con ello se quiere decir que no todas las personas tienen o pueden llegar a tener claro (cosa fácil de probar) qué es un intelecto infinito. La intuición no nos permite llegar a ello directamente. Por el contrario, para cualquier científico es usual la expresión p es el principio de f porque en ello consiste su trabajo, o sea, en hallar el principio del fenómeno. De no ser un científico quien analice la expresión, puede fácilmente aprender y convencerse con uno o dos ejemplos en qué consiste esta expresión.

Así, se puede decir que uno ve que una manzana cae al suelo, que una bala de cañón cae al suelo, que un globo con helio asciende, que el agua desciende y que un globo con aire desciende con dificultad. De estos fenómenos se puede hallar lo siguiente: a) todos los sólidos descienden, b) todos los líquidos descienden, c) todos los gases menos densos que el aire ascienden, d) todos los gases de igual densidad que el aire descienden con dificultad. Luego uno se percata de que la Luna es sólida (por cierta evidencia). Entonces los resultados anteriores se corrigen porque los fenómenos han sido ampliados y se obtienen otros principios (por ejemplo, todos los sólidos en las cercanías de la Tierra descienden, etc.).

Quizá alguien pueda diferir (y por ello requerir del establecimiento de un sistema formal) sobre lo que se entiende por intelecto infinito, pero para cualquiera que observe un ejemplo de Opf tendrá la certeza de su validez. La intuición nos permite asumir directamente a Opf como una expresión válida. Por ejemplo, un escéptico puede proponer que se requiere, ya sea de un ejemplo directo y evidencial de intelecto infinito, o bien de un cerebro cuyas capacidades sinápticas sean infinitas (situación que no ha sido hallada). Por otro lado, aún el escéptico confía en la existencia de principios a partir de fenómenos como hay muchos casos en la Ciencia.

El principio de cientificidad se refuerza por ser susceptible del método lógico empleado por la comunidad científica y llamado método científico. Es por ello que se adapta lo que dice DS por medio de sistemas axiomáticos conocidos y con interpretaciones libres del discurso, es decir, sometidas a la formalidad y, más aún, a la validez de las evidencias naturales con las que se cuenta al momento.

Axioma 2. Una voluntad infinita es única en número. Formalmente:

ij↔Aij=jk donde Aij diría i es afín a j y k es una constante.

En la lógica formal se ha detallado la infinitud por medio de las variables y constantes de los lenguajes que correspondan. Un ejemplo de ser afín: uno ejerce, por decir, cargar una caja. Como uno efectivamente ejerza ello, se tiene que uno está de acuerdo con ello, es decir, uno es afín a cargar una caja. Con este simple ejemplo se puede uno convencer de la validez de ser afín y se puede entender lo que significa ser afín en esta propuesta de formalización de DS.

Con este axioma se hace un esfuerzo por entender lo que pretendía decir Duns Scoto en DS. Así la voluntad se asume como afinidad, o sea, la disposición que se tiene hacia las variables del lenguaje utilizado.

Axioma 3. Una potencia infinita es única en número. Formalmente:

jp↔Xjp=ju donde Xij dice i ejerce j y u es una constante.

Axioma 4. Un ser necesario es único en número. Formalmente:

q↔OqXuq donde Oq dice q ocurre.

Axioma 5. Sólo hay una única bondad infinita. Formalmente:

Bu donde Bq diría q es bueno.

El término infinito del axioma lo imprimen los demás axiomas donde la constante u se relaciona con toda la gama (infinita) de variables del lenguaje utilizado.

Por supuesto, esta interpretación formal de DS es ya independiente de lo que entendamos por Bq, Aij, etc. Con ello se quiere decir que si bien se han tomado términos con los significados de otros sistemas, en general, para representar a DS, se puede prescindir de los significados como se hace con todos los sistemas formales. Por lo tanto, en DS se debe entender a la afinidad, al ejercicio, a la eventualidad, etc. sólo como DS los tiene axiomatizados.

Lo que se pretende ahora es hallar 1) la consistencia del sistema (con alguna contradicción dejaría de ser consistente) y 2) que sea un modelo válido para la realidad que intuitivamente podemos entender (con ejemplos evidenciales y poco esfuerzo para nuestro convencimiento).

CONSISTENCIA Y MODELO

El axioma 1 dice que se requiere tener el principio del fenómeno puesto que se tiene el axioma (que puede ser incluso el axioma 1). Por lo tanto los cinco axiomas deben tener un ejemplo al menos para poder verificar la validez de la proposición Opf. Es notable que en estudios como la Física, la Química, la Matemática (con los fenómenos de inducción matemática), la Lingüística, etc. existe este principio implícito. Así el axioma 1 es compartido por varios sistemas formales (los estudios de la Ciencia).

En resumen, si se halla el ejemplo intuitivo para cada axioma, entonces se garantiza la validez del axioma 1, de lo contrario el sistema 1) no es consistente respecto al axioma 1 y 2) el sistema no es científico. Si bien el sistema sin el axioma 1 puede ser consistente, resultaría ser un sistema inútil para los propósitos explicativos que pretendía (por faltar al principio de cientificidad) y con ello el sistema DS pierde interés teórico en la determinación de la naturaleza, sea divina o no. Para facilitar el hallazgo de los fenómenos se puede tratar por medio de los teoremas derivados de DS. Así se validan dos axiomas al hallar el ejemplo de un teorema deducido a partir de estos.

Por ejemplo:

Teorema DS-I. Oq (y su generalización) es deducible. Demostración:

Xrq premisa.
=ru por el axioma 3.
Xuq sustituyendo en la premisa.
Oq por el axioma 4.
∀qOq inferida.

Si se halla un ejemplo intuitivo en el cual toda variable de un lenguaje con infinitas variables cumpla con una relación monoádica dada, entonces se prueba la validez de los axiomas 3 y 4. Asimismo, como Xrq se deriva del hecho intuitivo, debe tenerse un ejemplo intuitivo para dicha relación.

Otro ejemplo:

Teorema DS-II.

V¬OqOq premisa (tautológica).
↔V¬OqOqBu por el axioma 4.
∀q↔V¬OqOqBu inferida.

Nuevamente, si se halla un ejemplo intuitivo donde la relación monoádica aplicable a una constante de un lenguaje con dos constantes e infinitas variables implique necesariamente la tautología de otra relación monoádica aplicable a todas las variables del lenguaje, entonces se validan los axiomas 3, 4 y 5.

Generalmente se modela a la naturaleza por medio de sistemas axiomáticos (como se hace con PM, la Física, etc.). En general la Ciencia se vale de este método, en el cual se hallan los ejemplos evidentes y accesibles a todos (intuitivos) para luego formalizar dicha evidencia. Es difícil, y quizá imposible, hallar la naturalidad en sentido contrario, partiendo de un sistema axiomático y encontrando posteriormente el caso que cumpla dicha situación. No asegurando que esto sea imposible para DS, la propuesta de sistema formal está dada.

Probablemente por la falta de formalización de la Ciencia en la época medieval, Santo Tomás y Duns Scoto no se percataron de este detalle. Quizá sí sea posible hallar la naturalidad de DS, pero no muy probable que coincida con lo que ellos tenían en mente. Insistiendo en la nobleza de la formalización, la propuesta está dada.

5 de Enero de 2012

EL TEOREMA DE CANTOR



LA ARITMÉTICA DE LOS CUERPOS. TEOREMA II.


Teorema II: Toda ecuación de primer grado es resolvible.

Demostración:

ΛRyRaRxRb=y+·axb¬=a0 premisa. Definición de la ecuación de primer grado [ver La aritmética de los cuerpos, 30 de Diciembre 2011; 27 de Diciembre de 2012 en este blog].
=+y-b++·axb-b por el axioma 6.
=+y-b+·ax+b-b por el axioma 14 y el 8.
=0+b-b por el axioma 1.
=+y-b+·ax0 por el axioma 5.
=·ax+·ax0 por el axioma 1.
=+y-b·ax por el axioma 5.
=·/a+y-b·/·a·ax por el axioma 7.
=·+y-b/a··ax/a por el axioma 4.
=·+y-b/a·a·x/a por el axioma 9.
=·+y-b/a·a·/ax por el axioma 4.
=·+y-b/a··a/ax por el axioma 9.
=1·a/a por el axioma 1.
=x·x·a/a por el axioma 7.
=x··a/ax por el axioma 4.
=·+y-b/ax por el axioma 5.
=x·+y-b/a por el axioma 2.
→ΛRyRaRxRb=y+·axb¬=a0 =x·+y-b/a inferida.


La resolución consiste en hallar =xa con Ra. Este ejemplo de demostración es muy simple y podría quedar mejor estructurado con la determinación de ciertos teoremas de uso común. Además, esta expresión de la ecuación de primer grado debe generalizarse. Aún así, el teorema es válido para acepciones como Rg que digan g es imaginario. Con ello se quiere decir que toda demostración en la teoría de cuerpos es aplicable a cualquier cuerpo n – dimensional. Con la adición de ciertas definiciones como la raíz o el logaritmo es posible ampliar los resultados obtenidos en las teoría de cuerpos y en términos generales en las teorías de cuerpos n – dimensionales.

30 de Diciembre de 2011

LA ARITMÉTICA DE LOS CUERPOS


Aparentemente los axiomas que se presentarán son fundamentales para el establecimiento de la aritmética de los llamados cuerpos. No se aborda esto por medio de cierta teoría de conjuntos sino por medio de un sistema lógico independiente. Aún así es bien sabido que existen tales equivalencias con las teorías de conjuntos y por lo tanto es válida la propuesta presente. Cualquier teorema resultado del sistema debe ser consistente con lo que intuitivamente y tradicionalmente entendemos por un cuerpo.

Como nota preliminar a este trabajo, se siguen los axiomas de la lógica de primer orden y las siguientes abreviaciones simbólicas: a) el operador va al comienzo y las expresiones operadas a continuación del mismo tal que sólo se toma como sea legible dicha expresión, y b) los cuantificadores se agrupan en uno solo. O sea, A↔B se representa en este sentido como ↔AB. También se tiene →ΛABC que se lee ordinariamente (AΛB)→C. Igualmente se puede tener A=B como =AB. De los cuantificadores, ∀a∀b∀c quedaría como ∀abc. A continuación, el sistema planteado.

LENGUAJE FORMAL Y SISTEMA

Axioma 1. Definición de los elementos neutros de la suma y el producto. Formalmente:

a→RaΛ=a+a0=a·a1=0+a-a↔¬=a0=1·a/aR-aR/a
donde Ra dice a es real, +xy diría la suma de x e y, ·xy diría el producto de x e y, =ab diría a igual a b, -a dice el recíproco aditivo de a, y /a dice el recíproco multiplicativo de a.

Entiéndase que Ra tiene análogos en su aplicación, es decir, existen otras acepciones como a es imaginario que son igualmente válidas. Asimismo se aplica para el resto de los relatores y funtores del lenguaje que se está empleando. Una situación análoga se observa en la teoría del orden con las acepciones estar a la diestra y estar a la siniestra. En función de lo anterior, recuérdese que comúnmente la suma y la adición así como el producto y la multiplicación son sinónimos.

Axioma 2. La igualdad es simétrica. Formalmente:

ab→ΛRaRb=ab=ba

Axioma 3. La suma es conmutativa. Formalmente:

abc→ΛRaRbRc↔=c+ab=c+ba

Axioma 4. El producto es conmutativo. Formalmente:

abc→ΛRaRbRc↔=c·ab=c·ba

Axioma 5. La igualdad es transitiva. Formalmente:

abc→ΛRaRbRc=ab=cb=ac

Axioma 6. La igualdad se puede expandir sólo si la expansión se puede simplificar hacia la igualdad. Formalmente:

abc→ΛRaRbRc=+ab+ac=bc

Axioma 7. La igualdad se puede expandir factorialmente sólo si la expansión se puede simplificar hacia la igualdad. Formalmente:

abc→ΛRaRbRc=·ab·ac=bc

Axioma 8. La suma es asociativa. Formalmente:

abc→ΛRaRbRc↔=d++abc=d+a+bc

Axioma 9. El producto es asociativo. Formalmente:

abc→ΛRaRbRc↔=d··abc=d·a·bc

Axioma 10. El producto es sustituible en la suma. Formalmente:

abc→ΛRaRbRc↔Λ=c·ab=d+ce=d+·abe

Axioma 11. La suma es sustituible en el producto. Formalmente:

abc→ΛRaRbRc↔Λ=c+ab=d·ce=d·+abe

Axioma 12. El producto es sustituible en el producto. Formalmente:

abc→ΛRaRbRc↔Λ=c·ab=d·ce=d··abe

Axioma 13. La suma es sustituible en la suma. Formalmente:

abc→ΛRaRbRc↔Λ=c+ab=d+ce=d++abe

Axioma 14. Si son reales, entonces la suma y producto de estos son reales. Formalmente:

ab→ΛRaRbΛR+abR·ab

Estos axiomas son operativos. A continuación los axiomas de orden:

Axioma 15. De uno dado, la suma con un positivo es mayor que éste. Formalmente:

abc→ΛRaRbRc↔

Axioma 16. Los axiomas de la teoría del orden son válidos. Estos implican:

Teorema I: El orden es transitivo. Formalmente:

abc→ΛRaRbRc

Así la teoría de cuerpos requiere de la adición de los axiomas del orden para hacer válidas estructuras como las desigualdades. De la misma forma que en la teoría del orden, si se adicionan a los axiomas aquí presentes las fórmulas de esta teoría pero con acepciones distintas, en particular la análogas a Rx, se obtiene una teoría de cuerpos n – dimensional. Con la realización anterior se construye la teoría de cuerpos de los complejos, cuaterniones, etc. No se han definido operaciones como la raíz y el logaritmo; la estructura que se conoce como cuerpo no involucra estas definiciones intrínsecamente aunque es posible llevarlas a cabo sin que pierda su caracterización como tal.

30 de Diciembre de 2011

miércoles, 26 de diciembre de 2012

EL BINOMIO DE NEWTON


Nota: Para observar la publicación adecuadamente, descargue la imagen y lea el texto desde su ordenador. Gracias.
 

SUMA DE COMBINATORIAS CONSECUTIVAS

Teorema: la suma de combinatorias consecutivas en selección para un universo de cardinal n es igual a la combinatoria con la selección mayor de las anteriores para un universo de cardinal n+1.

La hipótesis (por el momento) anterior se traduce como sigue simbólicamente:

[nℂm]+[nℂ(m+1)]=[(n+1)ℂ(m+1)]

Si se desarrolla la suma en términos de factoriales, se tiene:

[nℂm]+[nℂ(m+1)]={n!/[m!(n-m)!]}+{n!/[(m+1)!(n-m-1)!]}

Luego, factorizando n!/m!, la expresión cambia por:

[nℂm]+[nℂ(m+1)]=(n!/m!){[1/(n-m)!]+{1/[(m+1)(n-m-1)!]}}

La suma que queda al interior de los corchetes puede desarrollarse como sigue:

[nℂm]+[nℂ(m+1)]=(n!/m!)[(m+1)(n-m-1)!+(n-m)!]/[(m+1)(n-m-1)!(n-m)!]

Es posible dividir la suma del numerador en la expresión desarollada por el factor (n-m-1)! que ya se halla en el denominador de la fracción, de tal forma que se observe:

[nℂm]+[nℂ(m+1)]=(n!/m!)[(m+1)+(n-m)]/[(m+1)(n-m)!]

Con ello se simplifica el numerador:

[nℂm]+[nℂ(m+1)]=(n!/m!)(n+1)/[(m+1)(n-m)!]

Efectuando el producto con el factor n!/m!, queda:

[nℂm]+[nℂ(m+1)]=(n+1)!/[(m+1)!(n-m)!]

Justamente el valor (n-m)! es idéntico al valor [(n+1)-(m+1)]! (puede simplificarse para observar lo dicho), por lo cual es posible decir que:

[nℂm]+[nℂ(m+1)]=[(n+1)ℂ(m+1)]

Comprobando la validez de la hipótesis.


26 de Diciembre de 2012

RESOLUCIÓN GENERAL DE LAS PARADOJAS


FÓRMULAS DE OMNIPOTENCIA

Se plantea la paradoja de la omnipotencia de la siguiente manera:

«Sea una entidad omnipotente la cual puede crear un objeto con el cual ni siquiera esta entidad pueda interactuar (aún siendo omnipotente).»

En realidad su planteamiento lógico suficiente se tiene que realizar por medio de lógica de primer orden. En ese sentido las fórmulas que se pudieren plantear no mantienen la sentencia «la entidad es omnipotente» como parte de su suficiencia por lo que se tiene debe definir en esta lógica este concepto.

Así queda:

e(ω(e)↔∀o(c(e,o)Λi(e,o))), o bien, ∀eωe∀oΛceoieo

donde ω(e) (o ωe) es la entidad e es omnipotente, o es el objeto, c(e,o) (o ceo) es la entidad e crea al objeto o y i(e,o) (o ieo) la entidad e interactúa con el objeto o. Se observa claramente que la omnipotencia como sentencia queda independiente de la lógica de primer orden y por tanto se generan fórmulas que completen la definición de omnipotencia.

Con ello se puede vislumbrar que el planteamiento de la paradoja de la omnipotencia depende de asumir como parte de la suficiencia de la lógica al concepto de omnipotencia. Se plantea ahora la fórmula con la cual quedaría esta paradoja:

e(ω(e)↔∃o(c(e,o)Λ¬i(e,o))), o bien, ∀eωe∃oΛceo¬ieo

Este problema resulta de contradecir la proposición inicial que define la omnipotencia. No obstante tampoco constituye parte de la suficiencia de la lógica en la cual se analiza. Sea un sistema S para el cual la definición de omnipotencia es consistente. Si el sistema S es consistente por hipótesis, la definición será verdadera y en consecuencia el problema posterior queda falso. Lo mismo ocurre si se considera consistente a S con el problema pues así sería la definición una proposición falsa.

Entonces no hay forma de entender la razón de la paradoja sino porque al comienzo se asumía verdadera la sentencia la entidad e es omnipotente y se la consideraba como parte de la suficiencia de la lógica. Esta asunción es una proposición indecidible (la suficiencia lógica no tiene que ver con ello) para ambas proposiciones y por ello es la confusión (se asumía verdadera cuando en realidad era indecidible). Esto remite a la resolución general de paradojas que resuelve las paradojas al identificar las proposiciones “verdaderas” como indecidibles.

RESOLUCIÓN GENERAL

Se tiene una proposición que contradice a otra siendo que deberían ser consistentes estas:

r↔p (o ↔rp) es una fórmula de válida para la lógica de primer orden.

p↔q (o ↔pq) se tiene que la proposición necesariamente implica otra fórmula.

q↔¬r (o ↔q¬r) la siguiente proposición se tiene como verdadera.

p↔¬r (o ↔p¬r) la proposición contradice la primera fórmula.

Entonces se ha planteado el esquema general de paradojas. Al igual que con las fórmulas de omnipotencia, esto se puede analizar de forma tal que se halle la consistencia de las proposiciones respecto a un sistema de axiomas. Se sugiere un sistema S. La fórmula r↔p (o ↔rp) resulta consistente con S. Necesariamente, y dada la suficiencia de la lógica de primer orden, la proposición p↔¬r (o ↔p¬r) queda inconsistente, o sea, la primera proposición (por hipótesis) queda verdadera y la última queda falsa.

Con esto último se tiene que alguna de las proposiciones que permiten llegar a partir de la fórmula inicial a una contradicción influye en la formación de la paradoja. Por hipótesis, nuevamente, se supone que q↔¬r (o ↔q¬r) es inconsistente con S y consistente con la última proposición, por lo cual la segunda fórmula, p↔q (o ↔pq), debe ser responsable de la paradoja. Supóngase que esta proposición no puede hallarse verdadera o falsa, esto porque tanto ésta como su falsedad son indecidibles. Entonces en realidad es que se asume verdadera de forma inicial a esta proposición y debería considerarse como indecidible.

Todas las paradojas se originan a partir de proposiciones indecidibles que se asumen verdaderas, esto respecto a un sistema por medio del cual se analiza la veracidad de las proposiciones restantes de la paradoja.

9 de Agosto de 2011

SISTEMAS GENÉRICOS


Algunos sistemas formales, dentro de los conocidos y descritos por la Lógica formal, son particularmente notables pues persiguen estructuras que normalmente se utilizan para formalizar diversas situaciones provenientes de la experiencia, de la sugerencia sobre la experiencia, o sobre la no experiencia, el misticismo. A estos sistemas se les llamará genéricos.

SISTEMA GENÉRICO A

Sea un sistema formal donde sus axiomas son todos implicaciones cuya consecuencia es siempre la misma. Esto es:

↔Ψ1Φ
↔Ψ2Φ
↔Ψ3Φ...
↔ΨnΦ son los axiomas.

Obsérvese que de este sistema se pueden deducir implicaciones biunívocas como ↔Ψ7Ψ3 o ↔Ψ4Ψ2, etc. hasta ↔ΨnΨn-1.

Teorema I. Hay un número nℂ2 (combinatorio) de teoremas del tipo ↔ΨrΨs , con r diferente de s, en el sistema genérico A. Demostración:

Ψr premisa
Φ a partir del sistema A.
Ψs del mismo sistema.
Ψs tomando la consecuencia como premisa.
Φ a partir del sistema A.
Ψr del mismo sistema.
↔ΨrΨs inferida. Con ello sólo basta calcular el número de combinaciones según sea el de axiomas en el sistema.

SISTEMA GENÉRICO B

Sea una proposición del tipo →ΦΣ. Al admitir ésta como axioma y juntarla con el sistema A, se obtiene el sistema genérico B. En él existen n teoremas del tipo →ΨrΣ. Se pueden adjuntar cualquier número de sentencias de este tipo y se tendrá aún un sistema B.

SISTEMA GENÉRICO C

Cuando un sistema B presenta además un modelo conocido, y dentro de los axiomas del sistema B hay sentencias cuyo objeto asociado y perteneciente al universo del modelo presenta un número de valoraciones menor a otro dado, se trata de un sistema C. La facultad de categorizar el número de valoraciones respecto a otro dado permite establecer, junto al sistema matemático pertinente, sentencias probabilísticas. Así, una sentencia puede ser valorable con baja o alta probabilidad, esto según sea menor o mayor, respectivamente, el número de valoraciones según el valor conocido. Es claro que la probabilidad de las sentencias valorables con baja probabilidad presentan una probabilidad menor a ½.

SISTEMA GENÉRICO D

Cuando dentro del mismo sistema C se construyen sentencias que evalúan a las sentencias probabilísticas, se tiene un sistema D. Un ejemplo de sistema genérico D es aquel que permite decir al tener una probabilidad menor a ½ se habla de una sentencia poco probable (o rara) en sus valoraciones.

SISTEMA GENÉRICO E

Los sistemas genéricos D que permiten deducir teoremas entorno a las valoraciones correspondientes son sistemas del tipo E. Un ejemplo de teorema es el decir que las valoraciones correspondientes a las sentencias poco probables en sus valoraciones son fantásticas. Nótese que se prescinde del principio de cientificidad [PC, De la ciencia formal, 22 de Diciembre de 2011; 22 de Diciembre de 2012 en este blog] en la definición de los sistemas genéricos descritos. Además también es notable que un sistema E es necesariamente del tipo A, B, C, y D.

SISTEMA GENÉRICO F

Los sistemas formales que presentan un modelo, de los genéricos descritos al momento o no, y que no presentan valoraciones correspondientes son llamados del tipo F. En realidad no presentan modelo como tal porque no presentan valoraciones, sino que presentan objetos asociados y correspondientes que pertenecen a una clase denominada pseudouniverso. Entonces se habla de un pseudomodelo.

SISTEMA GENÉRICO G

Un sistema genérico F con estructura semejante a un sistema E, es decir, un sistema E sin valoraciones (con pseudomodelo) es un sistema genérico G. En este caso como se carece de valoraciones correspondientes, el ejemplo no puede ser expuesto como teorema. En su lugar, lo más válido queda como todo aquello correspondiente a las sentencias poco probables en sus correspondencias es mágico. Nótese que prescindir del PC no implica agregar el término mágico de inmediato.

La mayoría (si no es que todos) los sistemas formales reconocidos pertenecen a alguna de las categorías aquí expuestas de sistemas genéricos. Las disposiciones sobre los términos fantástico o mágico han sido intencionales y pretenden formalizarlos, a la vez que refieren las diferencias lógicas entre cada una de sus acepciones. Por lo mismo, los sistemas genéricos permiten formalizar la manera de análisis de la realidad, ya sea por valoraciones fantásticas o mágicas, o bien, por valoraciones científicas, experimentales, según el PC.

9 de Junio de 2012

sábado, 22 de diciembre de 2012

FENÓMENOS INDUCTIVOS


CIENTIFICIDAD DE LA MATEMÁTICA

La Lógica pura está determinada por medio de definiciones elementales, básicas, que permiten desarrollar un estudio de las inferencias, o bien, de los esquemas de razonamiento. Este estudio se halla formalizado con simbología biunívoca a los conceptos utilizados para razonar. No era exagerada la denominación que da George Boole a la Lógica pura como el estudio de las Leyes del pensamiento [Laws of thought]. La Lógica pura, la que sólo se invoca para referirse a las inferencias, es corta. Lo mismo ocurre con el resto de la Ciencia. La Biología queda corta si no se liga con la Lógica, la Física y la Química quedan cortas si no se ligan entre sí, etc.

La Lógica formal y pura permite establecer un principio de cientificidad susceptible de la razón, o sea, formalizado. La Ciencia en sí misma es una. La Ciencia se dedica al entendimiento de la naturaleza por medio de investigaciones, pero es con esta formalización que se gana algo más trascendental: no sólo queda el saber por saber sino el saber con motivo, con objetivo. Ningún estudio ha aportado tanto al saber científico como la Lógica pura lo hace por medio del principio de cientificidad formalizado (PC). Ocurre que la Lógica pura no depende del principio de cientificidad para su fundamentación. Es un estudio filosófico, desligado de la evidencia, dependiente de la intuición, el sentido común.

La nobleza de todos los estudios hace que la Lógica deje su pureza para admitir el principio de cientificidad. De esta manera pasa a compartir un puesto junto con todos los estudios que son formalizables. La Ciencia sin Lógica otorga resultados interesantes derivados de la investigación sin motivo, pero con Lógica, la Ciencia gana formalidad y es posible teorizar. Así existen escuelas para cada estudio formalizado de la Ciencia. Cada fenómeno puede adquirir modelos y valoraciones por medio de la Lógica (según como ésta los define).

Todos los estudios formalizados tienen en su definición al tipo de fenómeno bajo estudio y la forma de acceder a él. Física: estudio de los fenómenos corporales por medio de sus interacciónes, Química: estudio de los fenómenos corporales por medio de sus combinaciones, Lingüística: estudio de los fenómenos de la comunicación considerando sus aspectos físicos, fisiológicos y psíquicos, etc. Al fenómeno se accede por su naturaleza; al principio del fenómeno (dado el PC) se accede por la Lógica pura y de allí es posible teorizar entorno a él.

Existe un tipo de fenómeno que, dada su naturaleza, es confundido con aquello que trata la Lógica. Se trata de los fenómenos inductivos. Estos fenómenos se derivan de la observación de patrones, lo que intuitivamente entendemos por repeticiones. A diferencia de la Lógica pura, que viene directamente de la intuición, la Matemática tiene bases evidenciales y, como todos los estudios científicos formalizados, tiene su fundamento teórico, la base que le permite elaborar deducciones, según el PC.

Un tipo de fenómeno inductivo es el siguiente: al agregar algo, la totalidad se ve incrementada y sólo se ve disminuída al retirar algo de ella. La Matemática estudia fenómenos de esta categoría. La evidencia experimental de los fenómenos inductivos se halla en las convenciones que se tengan sobre ellos y que convenzan a cualquiera. Cualquier persona que entiende el fenómeno mencionado puede mostrar un esquema que convencionalmente se asume para representar al hecho en cuestión. Del ejemplo, se podría proponer el siguiente esquema: xxxx, como la totalidad, x como lo agregado, xxxxx como el incremento de la totalidad y xxxx como la disminución de la totalidad al retirar lo agregado.

Convencionalmente se tiene este tipo de esquemas que son la evidencia requerida para validar un principio partiendo de un fenómeno inductivo, según dice el PC que se requiere para cualquier estudio. Quizá el matemático tradicional no perciba su ámbito de esta forma, sin embargo en esto se hallan la mayoría de los problemas que la Matemática sufre actualmente. Siempre se ha tenido este tipo de fenómenos y el matemático normalmente teoriza para demostrar su veracidad. Por ejemplo, la conjetura de Goldbach es evidencialmente correcta, está formalizada y parece consistente con el resto de los principios matemáticos. No obstante, parte de la comunidad matemática se empeña en demostrar la conjetura por medios exclusivamente teóricos.

Demostrar los fenómenos inductivos con el sólo hecho teorizar equivale a tratar de demostrar el principio de relatividad, en Física, partiendo de teorías previas a él, por ejemplo, Mecánica clásica. El matemático obsecado normalmente rechaza como una situación relevante a la evidencia, pero es crucial que se tenga ésta, con esquemas convencionales como el mostrado. Por ello es que la hipótesis del continuo no encuentra solución: no hay esquema convencional que represente algo por el estilo y que a prueba de toda duda razonable conveza a cualquiera.

La Matemática puede tomar un rumbo más claro si se asume su definición como se ha esbozado y como será presentada a continuación.

EL PRINCIPIO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA

La Matemática se propone definida como sigue:

Estudio relativo a los fenómenos inductivos a través de esquemas convencionales.

Con esta aclaración sobre lo que es la Matemática, es posible entender la veracidad de los resultados que a la fecha han sido demostrados a prueba de toda duda razonable y será posible hallar resultados inesperados.

Se había mencionado que ligar a los estudios de la Ciencia hace más constructivo su trabajo. La Matemática se puede ligar a la Lógica pura, a la Física, a la Química, etc. En todos estos ámbitos (aún cuando la Lógica pura es intuitiva) hay fenómenos inductivos. Los esquemas convencionales son los experimentos que se efectúan, ya sean experimentos verificables o únicamente propuestos, ficticios. La Lógica pura va aportar a la Matemática la mayor parte de su formalidad. Luego la Matemática le aporta a ésta la mayor parte de sus resultados más sofisicados.

La estructura crucial de razonamiento para la Matemática es el principio de inducción matemática. Se observará con un ejemplo en qué consiste tal principio. Se retoma el ejemplo de los agregados a las totalidades: x se asume como una totalidad, x es la misma totalidad que la anterior, se agrega x a las totalidades, xx queda en ambos casos; se tiene una totalidad del tipo xxx...xx, la misma totalidad xxx...xx se asume aparte, a ambas se les agrega x, xxx...xxx queda en ambos casos como la misma totalidad. Como para las mismas totalidades, sean cuales sean, queda siempre de agregar lo mismo una misma totalidad, entonces una totalidad queda definida por lo que se agregue.

El resultado obtenido del fenómeno se sigue del hecho de haber considerado el análisis evidencial que aporta el esquema convencional. Se ha especificado en qué consiste una totalidad, agregar y el esquema debido. No obstante, el resultado no es obvio sino por un razonamiento. El razonamiento empleado fue el siguiente: se tiene el caso más particular del fenómeno, es decir, aquel inmediatamente derivado de su determinación, y el resultado que aporta; luego se tiene un caso ampliado y arbitrario del fenómeno junto con el resultado que aporta. Cuando el resultado es el mismo para ambos casos, se puede generalizar el resultado a todos los fenómenos determinados de la misma forma. Este esquema de razonamiento es el principio de inducción matemática (PI).

Nuevamente, quizá el matemático tradicional no observe el principio de la misma forma en que aquí se propone. No obstante, la evidencia señala que es posible utilizarlo para los fenómenos inductivos. Debe dejarse de asumir que los fenómenos inductivos tienen una definición. Esto equivale a darle una definición a la comunicación en Lingüística o las fenómenos corporales en la Física y la Química. Más aún, sería como definir a los conjuntos. Se tiene que los fenómenos inductivos sólo pueden ser accedidos (a saberse) por medio de esquemas convencionales que se ha visto validan la utilización del PI. En adelante, todos los resultados matemáticos lógicamente generalizados deben ser presentados en alguna modalidad del principio.

FORMALIZACIÓN

Se había dicho que la Lógica permite formalizar a la Matemática. Esto se logra al formalizar los fenómenos según el PC. Una vez formalizados los fenómenos, es fácil teorizar entorno a ellos con la manipulación de símbolos por medio de los axiomas de la Lógica y ciertas reglas de inferencia.

Ya se había formalizado el fenómeno de los agregados y las totalidades al emplear estos términos para referirse a ellos y luego se obtuvo un resultado. Con cierto rigor se puede únicamente acudir a letras o figuras para representar estos términos sin retomar lo que necesariamente se sabe significan. Por ejemplo, se puede determinar el fenómeno empleado por medio de uno o varios axiomas. Esto quedaría como sigue:

Axioma I. Existe aquel equivalente a la ligadura de otros. Formalmente:

ij∃k=kBij donde Bij dice la ligadura dados i y j.

Con este axioma se observa que si, por ejemplo, =ixxxx y =jxxx, entonces existe =kBxxxx xxx, o sea =kxxxxxxx. Se omiten las palabras agregado y totalidad porque se puede prescindir de ellas dada la formalización. Por ello conviene el PC la utilización de la lógica de primer orden que permite el entendimiento racional y preciso de un fenómeno, a la vez que se obtiene un nivel expresivo suficiente para el mismo (aunque insuficiente al emplear una lengua ordinaria como el Español o el Inglés).

La modalidad de formalidad lógica que aquí se expone es la que evita emplear paréntesis. Es por ello que un conector lógico queda al comienzo de una expresión, que una relación como = se coloca al comienzo de dos variables y no entre éstas y que los cuantificadores afectan a todas las variables al frente de ellos, además de que se evita también el uso de comas entre variables en una relación. En adelante se empleará esta modalidad para toda demostración con lógica de primer orden.

Se puede proceder como sigue para demostrar formalmente lo obtenido:

Teorema I. Existe aquel equivalente a la ligadura de uno consigo mismo. Demostración:

=ij premisa
∀i∃k=kBii por el axioma I.

Con este resultado se procede con una deducción según el PI:

=ix premisa. Aquí x es una constante.
∃j=jBii por el teorema I.
∀k→=kBii=kj porque Bii es constante (en virtud del funtor) y j lo es (por la igualdad).
∃jn+1=jn+1Bijn donde jn es una constante obtenida de sucesivos pasos con =jBii como el inicial.
∀k→Λ=ix=kBijn=kjn+1 porque Bijn es una constante según lo anterior.

Se ha demostrado formalmente el resultado obtenido anteriormente por la evidencia. Así queda con mucha mayor precisión la expresión toda totalidad queda determinada por sus agregados. Esta frase debería ser dividida en dos como lo hace la demostración para decir que la totalidad x es constante y luego que toda totalidad resultado de ligar otras totalidades también es constante.

El PI se ha manifestado al presentar el caso Bii como el que inmediatamente surge del fenómeno (formalizado) y luego al exponer el caso arbitrario con jn. La ventaja observada en la demostración formal para el PI es la posibilidad de introducción del cuantificador generalizador en el razonamiento sin que esto sea sucedido esencialmente por la regla de inferencia de introducción del generalizador del cálculo deductivo de primer orden.

Una vez establecida la forma de teorizar con la Matemática, se procederá a la observación de las teorías que la representan.

ORDEN

El orden es una situación lo suficientemente conocida en tantos ámbitos de la Matemática que en realidad es una parte fundamental de ella. El esquema convencional que se propone muestra lo que se entiende por orden: x xx xxx xxxx xxxxx exhibe que x se halla a la izquierda de xx, que xxx está a un lado de xxxx y de xx, y que xxxxx está a la derecha de xxxx. Estas ideas básicas constituyen un primer paso para la obtención de un orden, es decir, para poder ubicar a cualquiera de los objetos que conforman el esquema.

La formalización del orden es la siguiente:

Axioma 1. O está a la diestra de otro, o el otro a la diestra del primero. Formalmente:

xy¬↔RxyRyx donde Rxy dice x está a la diestra de y.

En este caso estar a la diestra es equivalente a estar detrás o previamente o ser menor que. Esto no tiene importancia: todos estos conceptos son válidos. Lo mismo ocurre cuando se trata de la siniestra. Esto quiere decir que, por ejemplo, de xx y xxxx sólo se puede decir que xxxx se halla a la derecha de xx pero no al contrario.

Axioma 2. Está a la siniestra sólo si no está a la diestra. Formalmente:

xy↔¬RxySxy donde Sxy dice x está a la siniestra de y.

Análogamente al axioma anterior, de x y xxx, si se sabe que x está a la izquierda de xxx, entonces no es posible cambiar la palabra izquierda por la palabra derecha y que la expresión quede correcta.

Axioma 3. Está lateral a otro sólo si el otro el lateral al primero. Formalmente:

xy↔LxyLyx donde Lxy dice x es lateral a y.

Así es posible expresar que xx se halla a un lado de xxx y de igual forma que xxx se halla a un lado de xx.

Axioma 4. Si uno dado está a la diestra de otro, entonces si uno distinto de los anteriores es lateral al primero se tiene que éste se halla a la siniestra. Formalmente:

xy↔→ΛLxyRxy→LxzSxzΛ¬=zy¬=xz¬=xy donde se reconoce el relator = de los lenguajes formales.

Por ejemplo, de xx, xxx y xxxx, que son distintos, se puede decir que xxx está a un lado y a la derecha de xx. Luego, se dice que xxx está a un lado de xxxx, por lo tanto, xxx está a la izquierda de xxxx.

Axioma 5. Si uno dado está a la siniestra de otro, entonces si uno distinto de los anteriores es lateral al primero se tiene que éste se halla a la diestra. Formalmente:

xy↔→ΛLxySxy→LxzRyzΛ¬=zy¬=xz¬=xy

Ocurre como en el caso anterior con xx a la izquierda de xxx y el resultado es xxxx a la derecha de xxx.

Axioma 6. Ninguno es lateral de sí mismo. Formalmente:

x¬Lxx

No se observa que xx sea lateral de sí mismo (y en ningún caso se observa esto).

Axioma 7. Alguno es lateral de otro. Formalmente:

x∃yLxy

Todos, en efecto, están a lado de algún otro.

Axioma 8. Si uno dado es lateral a otro, entonces o está a la diestra o a la siniestra. Formalmente:

xy→Lxy¬↔RxySxy

Con xx se observa, por ejemplo, que xxx está a su lado y a su derecha (si no fuera a la derecha, estaría a la izquierda).

Como se había mencionado, se pueden tener cualesquiera equivalencias. Una de ellas puede ser arriba o encima, abajo o debajo y adyacente. Si se utilizan los relatores correspondientes a estos conceptos y se emplean los esquemas aquí planteados y además se les juntan las sentencias resultantes a los axiomas aquí propuestos, entonces se puede establecer un esquema más completo. Incluso se puede “diagonalizar” esta idea y obtener el esquema de un tablero de ajedrez o algo parecido. No se pone en duda que esta adaptación de axiomas se pueda llevar enésimas veces a cabo y se obtiene una estructura n – dimensional y ordenada. El esquema resultante sería un tablero con casillas en movimiento.

Es importante señalar que si la teorización se había dicho era insuficiente para establecer resultados matemáticos, también es cierto que esta misma puede simplificar los hechos que proceden de fenómenos inductivos. Para el orden, existe el fenómeno inductivo y la formalización, luego se pueden obtener resultados cuyos esquemas convencionales son ciertamente inaccesibles (como las casillas en movimiento).

En una situación así, es válido omitir el esquema para la obtención de teoremas de veracidad razonable; lo que no se admite en Matemática es la obtención de resultados a partir de sentencias lógicas que formalizan aquello que no tiene esquemas convencionales, es decir, cuya referencia a un fenómeno inductivo no exista (como la hipótesis del continuo basada en la infinitud que no tiene, a saberse, esquema convencional asociado).

ARITMÉTICA

Ya se ha expuesto una formalización de la aritmética con la disposición de los agregados y las totalidades. Es un axioma simple que, unido con el orden por medio de una sentencia o varias sentencias adecuadas, permite establecer la teoría de números. Entonces número es la entidad presente en los fenómenos inductivos y estudiada por medio de los axiomas de orden, el axioma de la aritmética (axioma I) y la sentencia o sentencias mencionadas. Las totalidades, según esto, son un caso especial de números. Con esto se dice también que el Cálculo es el estudio del número.

Como en el caso del orden, se pueden formular equivalencias de modelo para el axioma formulado de la aritmética, es decir, se pueden establecer totalidades de totalidades formadas por agregados (modelo de la multiplicación), totalidades de totalidades formadas por totalidades formadas por agregados (modelo de potenciación), etc. Entonces, es posible obtener una “súperestructura” aritmética ordenada n – dimensional. Uno de los modelos más importantes es el que dice Bij la separación dados i y j, lo que vulgarmente se conoce como sustracción. Otro de los modelos reconocidos es Bij la ligadura (o separación) imaginaria dados i y j, o dicho diferente, la suma (o sustracción) de números imaginarios. Las formalizaciones en Matemática pueden abarcar distintas formas del mismo fenómeno inductivo.

Para completar al Cálculo, es necesario establecer la sentencia faltante entre el orden y la aritmética:

Axioma II. Aquel equivalente a la ligadura de otros está a la diestra de estos. Formalmente:

ijk↔ΛRkiRkj=kBij

Los axiomas I, II y la teoría del orden observan por convención un mismo modelo. Por ejemplo, el modelo donde Bij dice la ligadura dados i y j y Rki dice k está a la diestra de i es uno admitido. Otra convención es el modelo donde Bij dice la separación dados i y j y Rki dice k está a la siniestra de i. Obsérvese que en este caso, Sxy quedaría entonces como x está a la diestra de y. Al tener estructuras n – dimensionales se pueden intercambiar modelos, un caso particular es el modelo donde B1ij dice la ligadura dados i y j, R1ki dice k está a la siniestra de i, B2ij dice el producto dados i y j y R1ki dice k está a la diestra de i. Para los relatores con subíndices idénticos se siguen los axiomas y modelos correspondientes en forma única, y para los subíndices distintos se pueden agregar premisas como

ijk↔ΛR1kiR1kj=kB2ij

que son consistentes con lo que comúnmente se conoce como producto de números negativos. El cálculo y sus modelos permiten efectivamente entender a los números (desde el cálculo variacional hasta las más simples adiciones y sustracciones).

Al añadir premisas correspondientes a los modelos se trata de ramas particulares de la Matemática directamente relacionadas con el Cálculo. Algunas de estas son la Probabilidad (con la premisa para toda t, t tiene a la siniestra una constante 0 y a la diestra una constante 1), el Álgebra elemental (con ciertas premisas del tipo producto de números negativos) y la Aritmética euclidiana (con premisas referentes a la divisibilidad de los números – adaptada según el producto –).

REGIONES

Las teorías de conjuntos han sido analizadas por muchos años y suponen el nivel de desarrollo matemático más elevado. Esto tiene una razón muy interesante: se han expuesto las teorías que al momento se conocen en orden cronológico, es decir, aritmética, orden y regiones (considerando que primero se mostró la formalización de la aritmética). Esta cronología se basa en la forma intuitiva en que nos percatamos de los fenómenos inductivos, o sea, normalmente es más fácil percatarse de la adición y sustracción de cosas, luego de su prioridad y finalmente de su delimitación.

Por ejemplo, la gente comienza contando el dinero, se sigue asignando valor al mismo y a las cosas que permite comprar, y finalmente se delimitan las clases sociales respecto a él. Es en ese sentido que la Matemática evolucionó: se crea la teoría de números naturales, se amplía ésta con el orden que otorga la teoría de números reales y finalmente se culmina con el hallazgo de las estructuras algebraicas y la Topología, todo esto a grandes rasgos. No es de extrañarse que los conjuntos sean difíciles de tratar si se consideran las relaciones que deben tener con la aritmética y el orden, además de no ser tan evidente su manifestación esquemática.

Por fortuna, la formalización de las regiones es simple y compatible con los fenómenos inductivos esquematizados con las x. Prosiguiendo con el esquema del fenómeno de las regiones, se tiene: xxxxxx exhibe que x se halla dentro de xx, que aaa se encuentra fuera de xx, y que xxxx está en contacto con xxxxxx (no lateral, sino que podría encimarse xxxx con xxxxxx, o sea, estaría en contacto). Como con la aritmética y el orden, se puede tener una formalización como a continuación:

Axioma A. Si está dentro de otra, entonces no está fuera de esta última. Formalmente:

ij→Dij¬Fij donde Dij dice i está dentro de j y Fij dice i está fuera de j.

Así xxx que está dentro de xxxxx, implica que xxxxx no esté fuera de xxx (porque xxx no basta para cubrir todo xxxxx).

Axioma B. Si está fuera de otra, entonces ninguna está dentro de la otra. Formalmente:

ij→FijΛ¬Dij¬Dji

Según esto, aaa está fuera de xxx (porque las a son distintas de las x), por lo tanto aaa no está dentro de xxx y viceversa (mejor dicho, no se pueden encubrir entre sí).

Axioma C. Está fuera de otra sólo si ésta se halla fuera de la primera. Formalmente:

ij↔FijFji

Un ejemplo es aaaa que está fuera de xxx, y viceversa (porque son distintas entre sí).

Axioma D. Si está dentro de otra, entonces ésta no se halla dentro de la primera. Formalmente:

ij→Dij¬Dji

Con esto, xxxx se halla dentro de xxxxxx y por consiguiente xxxxxx no está dentro de (no cubre a) xxxx.

Axioma E. Si está dentro de otra, entonces se halla en contacto con la otra. Formalmente:

ij→DijKij donde Kij dice i está en contacto con j.

Entonces, xx está dentro de xxxx y se puede encimar xx en xxxx.

Axioma F. Están en contacto sólo si éste es mútuo. Formalmente:

ij↔KijKji

Del anterior, xxxx se puede encimar en xx.

Un esquema convencional puede ser más apropiado en un caso y en otro no. El fenómeno de las regiones se puede acceder con mayor facilidad si se emplean manchas coloreadas o figuras con otras figuras en ellas, etc. Por ejemplo, de ©, c está dentro de O, de c y O, c está fuera de O, y de Æ, A y E están en contacto (por supuesto, c y O también lo están en ©). La Matemática no se restringe al esquema que emplea las x.

Las regiones son una forma de expresar lo que se entiende por conjuntos; los modelos de estos axiomas pueden adaptarse como Dij i pertenece a j, Fij i es exterior a j y Kij i es vecino a j y en general pueden formarse, como en los otros casos, modelos equivalentes. La sentencia necesaria para complementar esta teoría con las ya mencionadas queda como:

Axioma III. Si uno es el resultado de otros que se ligan, entonces los tres están dentro del mismo. Formalmente:

pqr→=rBpq∃sΛDpsDqsDrs

Es claro que asumir la premisa =ix con x una constante implica que s del axioma sea única. Con esta última proposición y la axiomática que precede se logran establecer las bases incipientes de la Matemática conocida. Cabe decirse que las teorías de conjuntos no poseen un éxito indiscutible porque no logran aclarar o ser compatibles con lo que intuitivamente se conoce como conjunto.

Partiendo de este axioma (III) se puede deducir la extensionalidad con la premisa =ix, el axioma de pares con otras dos constantes, la unión, la intersección, y se omiten conceptos como el conjunto vacío y la infinitud (que entorpecen el saber matemático), todo provisto en la teoría de Zermelo – Fraenkel – Skolem. En particular, la infinitud se garantiza con la formalización de la aritmética pero diferenciándola con exactitud, es decir, haciéndola inductiva y no ciertamente infinita. Resultados como las cortaduras de Dedekind, uno de tantos, pueden hablar de un orden inductivo, susceptible del PI, que es intuitivamente más accesible (ciertamente esquematizable) que un orden dados ciertos “conjuntos infinitos”.

RELEVANCIA DE LOS FENÓMENOS INDUCTIVOS

Conceptos tan intrigantes, importantes y discutibles como el cero pueden hallarse con la axiomática de la aritmética, el orden y las regiones al tomar la premisa =i0 con 0 una constante. La funciones pueden observarse de la implementación de modelos apropiados para el Cálculo. El cálculo variacional se obtiene con la definición (o premisa) del límite. Las teorías de estructuras algebraicas se pueden determinar con las regiones, y el Cálculo. Incluso la Geometría puede analizarse partiendo de los axiomas aquí presentes en el instante en que se tiene el Álgebra y la definición de las distintos lugares geométricos.

Se habla de una Matemática establecida en un aspecto más fuerte que la intuición, el PC. Asimismo, el PI queda como esquema de razonamiento crucial por excelencia. La Física y la Química, estudios cercanos a la Matemática, se enriquecen en su formalización porque la mayoría de sus fenómenos son inductivos (sobre todo las mediciones). Se dijo que la Lógica gana resultados muy enriquecidos por la Matemática, esto si se trata de la obra numérica y recursiva desarrollada por Kurt Gödel.

No se propone con los axiomas I, II, III, los de orden y los de regiones, una Matemática demostrable consistente, sino una Matemática con una formalización basada en la experimentación y la evidencia. No es de extrañarse que la Matemática siempre muestre señales de consistencia en sí: al basarse sobre los mismos fenómenos, todo lo relativo a estos debería ser coherente, a pesar de que esto sea indemostrable en su formalización.

Si el PC garantiza un alto grado de certeza, de credibilidad, es necesario admitir que la Matemática se rija (y se haya ido rigiendo desde milenios antes) por él.

31 de Enero de 2012