ARITMÉTICA. PRIMERA RESOLUCIÓN DIOFÁNTICA.

Teorema: los únicos enteros cuya suma y producto enteros son iguales, son el 0 y el 4.

Se tiene la diofantina sugerida por el teorema como sigue:

a₀+a=a₀·a

Se procede a darle una forma cuadrática a la expresión presentada y posteriormente se consigue deducir lo pretendido por medio de un resultado inductivo. Téngase entonces la siguiente definición de z:

a=a₀+z

Sustituyendo en a esta forma, se puede caracterizar la diofantina como sigue:

a₀²+(z-2)·a₀-z=0

Según la resolución general para las cuadráticas y algunas simplificaciones, esto tiene como soluciones evidentes las siguientes:

a₀=-½·[z-2+(z²+4)^½] ó

a₀=-½·[z-2-(z²+4)^½]

Entonces, a partir de cualquier número z definitorio de la diofantina se pueden determinar las soluciones de cualquier tipo. Buscando las soluciones enteras, se consigue averiguar el hecho de que el término z+(z²+4)^½ o el término z-(z²+4)^½ deben ser pares en ese caso, en virtud de las características de las soluciones. Supóngase entonces la existencia de un número par 2·z' (donde z' es impar) que caracterice a cualquiera de las expresiones expuestas, esto es:

2·z'=z+(z²+4)^½ ó

2·z'=z-(z²+4)^½

La representación del par supuesto conlleva a develar ciertas propiedades de z. Hallando la expresión de esta variables en términos de z', se tiene:

z=2·(z'²-1)

Nótese que el resultado es válido para ambas soluciones de a₀. De este resultado se obtienen dos conclusiones: 1) z es par y 2) existe un termino [(z'²-1)²+1]^½ que debe ser entero. Ésta última se deduce de sustituir el valor de z en las soluciones de a₀. Sea pues:

a₀=2-z'²+2·[(z'²-1)²+1]^½ ó

a₀=2-z'²-2·[(z'²-1)²+1]^½

Efectivamente, la conclusión 2 es acertada. Nuevamente, se supone la existencia de tal entero z''. O bien, z''=[(z'²-1)²+1]^½. Esta última hipótesis lleva a translucir la forma z'²-1=(z''²-1)^½, donde a sabiendas de que z' es un entero se puede entender que la equivalencia para la raíz también lo sea. Sólo un entero cumple este requerimiento, es decir, el de ser un cuadrado diferenciado de otro cuadrado por la unidad y es el 0, que se diferencia por la unidad del otro cuadrado que es el 1. Esto parece evidente, pero resultará fuerte para la deducción si se demuestra:

z'²-(z'-z'')²=f definiendo la diferencia f entre cuadrados dados.

2·z'·z''-z''²=f desarrollando el binomio cuadrado y simplificando.

Y la diferencia f entre cuadrados no tiene en ningún sentido relación con el 1 de la descripción requerida, salvo que z'=1 y z''=1. Esto último se observa de que la igualdad 2·z'·z''-z''²=1 se puede traducir en la equivalencia z''=z'. Luego queda que z'²=1 (de la definición de f) y finalmente se desarrollan los números conocidos z'' y z'. Así, z=0 y las soluciones de a₀ y a permiten evaluar sus sumas y productos equivalentes con valores de 0 o 4.

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18 de Junio de 2012