Teorema de incompletitud de Gödel


Kurt F. Gödel, en «Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines» [paráfrasis]:

«Existen argumentos lógicos imposibles de ser deducidos verdaderos o falsos; entre ellos, la coherencia de dichos razonamientos.»

La existencia verdadera o falsa de algo (por ejemplo, las piedras; al contrario, las hadas), no implica que la misma sea demostrable así, ni que deba o no tenerse fe en cualquiera de estas posibilidades.

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La creatividad surge de hallar –pensando diferente del resto– ideas absurdas, para así nuevamente pensarlas y darles coherencia.

Ahí la importancia de la Lógica: porque sólo con ella es posible tanto hallar los absurdos como obtener la coherencia.

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martes, 24 de diciembre de 2013

REFERENCIA A LO INEXPRESABLE



[...] le habló del destino levítico del sánscrito, de la posibilidad científica de ver el futuro transparentado en el tiempo como se ve a contraluz lo escrito en el reverso de un papel, de la necesidad de cifrar las predicciones para que no se derrotaran a sí mismas [...]

Gabriel García Márquez
Cien años de soledad.


Queriendo describir aquello que no existe, se intuiría que eso no debería tener propiedades. La roca existe y es dura: tanto existir como ser dura son sus propiedades. Es lo que puede decirse de ella. Sin embargo, si no existe aquello inexistente, ¿por qué habría de tener propiedades? No obstante, parece que aun lo inexistente tiene por propiedad no existir y, en tal caso, el no tener propiedades. Entonces la paradoja radica en un paradigma: en haber asumido que tener propiedades y existir se daban de forma intrínseca.
 
Si asumimos lo contrario, que tanto lo existente como inexistente, y más aún todo lo expresable, alguna propiedad presentan, que alguna forma de describirlo tengan, no hay tal contradicción. Por este motivo la Lógica es suficiente, nada le falta: puede expresar tanto lo falso como lo verdadero. Pero siguiendo sus reglas y posibilidades, lo falso sólo conlleva falsedades, y lo aparentemente verdadero quizá a explicar algunas pocas certezas.

Finalizando la voltereta sobre lo que para razonar se necesita, tómense todas las palabras, incluso las que en los diccionarios su definición no encuentra respuesta. Como todas las frases comprensibles que formen pueden ser negadas, se tienen todas las frases posibles, sean verdaderas o falsas. Si una frase con las que se juega a pensar no es ni verdadera ni falsa, entonces no significa nada. Incluso el «¡Ah!» ante lo impresionante puede negarse a través del «¡Ah!» de la decepción.
 
Y las palabras pueden hacer referencia a lo inexpresable. Pero como tal objeto sin frases no debería tenerlas aunadas y, por el contrario, se encuentra ahora marcado por estas líneas, se intuye que éste no existe y, como se inscribió al principio, el poder escribir y describir las «cosas» es cuestión aparte, perteneciendo a una Lógica completa. 

24 de Diciembre de 2013

[Esta entrada participa en la VIII Edición del Carnaval de Humanidades alojado por @MartaMachoS en el blog ZTFNews.org]


lunes, 23 de diciembre de 2013

LO QUE ES EN PRINCIPIO


Samuel Earnshaw: no puede tenerse
un equilibrio estable por sólo actuar
campos de fuerzas conservativas.


***


«No hay normas: todos los hombres
son excepciones a una regla que no existe».

Fernando Pessoa


Las palabras sirven para expresarnos, así como los signos de puntuación y cada trazo extraño con cierto significado. Las palabras bastan para decirlo todo, sea verdad o sea mentira, pero siempre con racionalidad inscrita.

Ser racional es saber decir «sí» o «no», pero ninguna de estas situaciones al mismo tiempo.

Lo demás es, en estricto sentido, todo lo demás. Puede tratarse de grandes generalidades, teorías unificadoras, o los datos de un pequeño experimento. Y no suele requerirse de enormes ciclotrones para poner a prueba lo aún invisible. Basta con un poco de poesía e imágenes mentales para derribar un paradigma.

Galileo no pudo tener como experiencia el ascenso hasta cielos, de la Voyager tan lejos, del Apolo hasta la Luna, sin embargo así Newton hubo creído que si una piedra, o un planeta, o el polvo simplemente, se encontraban en ausencia de otro polvo, de otra estrella, es decir, de cualesquiera cuerpos, habrían de mantenerse inalterables.

¿Por qué no creer que los entes solitarios se ven inalterados si no encuentran aquello que es la causa de sus cambios?

Y del mismo modo en que él creyó lo imposible, un Universo de nada, la soledad en el pleno vacío, otra imagen sutilmente distinta hizo surgir la idea a continuación: si en el Universo hay una piedra y un polvo, un planeta y su estrella, o un par de dados sueltos, uno altera al otro y viceversa. Estos objetos, sin embargo, se encuentran solitarios y jamás son alterados más de lo que pueden hacerlo entre sí. Saber decir «sí es una pluma» y «no es una moneda, pero sí una estrella», permite expresar esta idea.

Ser racional nos lleva a abarcar lo incomprensible.

Con un poco de imágenes y poesía, sobre todo de la realidad, se puede concluir lo que sucede en casos extremos. Un fotón, alguna «cosa» fundamental para hacer luz, manipulado para atravesar una máquina diciéndonos «sí hay un fotón» o «no hay un fotón», puede aparecer desde siempre y para siempre, como si de algo increíble se tratara, encerrado en dicha máquina a la cual nunca ha ingresado y de la cual jamás habrá salido. No es difícil entenderlo, no es para romperse la cabeza: ya lo escribiría Pessoa:

«La luz del sol no sabe lo que hace
y por eso no yerra y es común y buena.»

«Sí es fotón» y, por lo tanto (siendo que la palabra «fotón» es para tanto, y de tanto es un misterio) hay luz. Se ha deducido lo obvio con lo complejo. No.

Para ello existen reglas y así las demostraciones.

Sigamos, quienes quieran, las máquinas sin voluntad o los hombres esclavos de su incapacidad sartriana de decisión, las reglas del pensamiento, sugeridas por George Boole, aplicadas en el futuro, las que instintivamente comprendemos y en los ordenadores programamos, y lleguemos con imágenes reales y palabras de poesía a describir lo inexorable de la vida. Quizá no todo sea demostrable, pero no por ello se ha de claudicar en el intento de aprender algo cierto sobre los hechos.

Si una frase se da por cierta, porque al parecer así es creíble, entonces es un axioma y, además, es un principio.

En principio, todo lo que existe es explicable.
En principio, todo, absolutamente todo, surgió desde el comienzo.

Los físicos no cesan de intentar describir lo que hubo antes de todo lo incluido en la palabra «ello». Pero todo hubo surgido desde el comienzo y no antes, incluida la lógica, el espacio y el tiempo, asimismo los detectores (cada cuerpo en el Universo es un detector):

¿Por qué esperar que algo hubiese bajo el régimen de lo ausente, donde nunca ha ocurrido algo parecido a lo que «nunca» significa?

Quizá la levedad del ser de Kundera yazca cerca de lo perdurable y sólo por ello existamos. Quizá esa misma levedad yazca tan fuera de estos mundos en los que habitamos y sentimos, tanto o menos que imprescindibles nosotros, y sólo por ello también existamos. Reconocer lo que hay por fuera, al exterior del Universo, quizá mejor nombrado Naturaleza, que contiene incluso todos los Multiversos, podría tenernos sin cuidado. Yanchilin dice que muy afuera ni siquiera hay afuera, que sólo hay «caos», o en términos prácticos de la racionalidad, no hay nada de lo que es «todo»: es simplemente esto:









***

Como se refiere a la realidad de un silencio incomputable, incalculable e ilegible, menos aún demostrable por carecerse de raciocinio, pero que no interfiere en lo que adentro, aquí, suceda, sabemos que hay algo jamás teorizable en su naturaleza existente por ser algo diametralmente inescrutable. No como el fotón hecho partícula, tan sugerido y encontrado en el ochenta y siete por Grangier, Roger y Aspect al lograr no volver a mezclar, remezclar y dejar hechas partículas las fracciones de lo que vemos.

Teorizable con teoremas, teorizable con leyes. Las palabras no sirven para hallar lo que en principio es incomprensible.

Es incomprensible que donde no pueda haber palabras, donde no hay nada, puedan existir explicaciones con poemas e imágenes de una realidad que tampoco existe. Teoremas prediciendo en teorías, si es que existen, bosones, antipartículas, muones o la simple caída libre de pelotas en el campo. O también que hay un campo de velocidad irreductible.

Teoremas anunciando, si es que no existen, mediciones imposibles aquí, donde todo existe: que mil y un eventos universales y entrópicos no puedan ocurrir con un curso reversible. O que en este Universo de Earnshaw (porque el hombre aquí razonó) la existencia misma no contempla solamente a la energía potencial.

¡Cómo es que no existe poesía al definir los potenciales!:

«Aquello necesario y suficiente para llevar a un objeto desde la soledad del Universo hasta cualesquiera confines con una velocidad tan ínfima como imposible».

Mover siquiera un centímetro, siquiera un simple grano de lo ínfimo imposible, es gracias a Einstein «algo» que ocurre, que sucede. El evento A respecto al evento B. El gemelo A más gordo y viejo que el B. Conocer los axiomas de Newton y las leyes del movimiento más incompatibles que aparecen implica encontrarnos en nuestra época de desconocimiento. Nada menos incompatible que el experimento de Rosen y Podolsky con la imaginación de un genio perturbado porque no tenemos destino.

Las leyes de la Naturaleza no forman códigos ni constituciones, pero llevan en el fondo la rectitud que nos domina. Así puede que el determinismo cobre cierto sentido y valor. Tan arbitrarias son las leyes, que sólo dependen de precarios experimentos. Ley de Gauss: la jaula de Faraday, o una lata de aluminio cargada por un garbanzo que por dentro la ha inducido. Ley de Faraday: una barra de magneto atravesando un alambre redondeado, o el enorme ciclotrón donde cuatro detectores han encontrado la masa de lo que somos.

¿Y qué somos?

Ricardo Reis tal vez tiene la respuesta: las rosas de los jardines de Adonis, con noche antes y después de lo poco que duramos. No olvidemos que hubo quizá un comienzo. No olvidemos entonces el comienzo que tenemos: las palabras sirven para expresarnos, nuestros principios y leyes, teoremas y corolarios, con sus signos de puntuación y cada trazo extraño u operador hamiltoniano con cierto significado.

23 de Diciembre de 2013

 
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miércoles, 18 de diciembre de 2013

LA MÁQUINA EVALUADORA (VERSIÓN DE CARNAVAL)



Alan Turing, quien empleando ordenadores
como objetos abstractos de propósito definido
fundó la Informática moderna.


Una máquina permitiría evaluar si otros objetos funcionan o no. La máquina evaluadora es una caja donde se introduce un objeto y de alguna forma que no interesa en absoluto se prueba si éste funciona. Si el objeto funciona, la máquina evaluadora anuncia un «Sí» en alguna pantalla o con alguna voz hipotéticamente robótica, lo cual no tiene interés alguno para el usuario del artefacto. Si el objeto no funciona, la máquina evaluadora anuncia un «No».

Por ejemplo, se introduce a la máquina un destornillador en excelentes condiciones para destornillar y se anuncia el «Sí». Luego, se introduce una manzana podrida y como ya no resulta comestible, la máquina anuncia el «No». La máquina resulta tan versátil que en ella incluso pueden introducirse ideas, objetos abstractos, u objetos físicos de cualquier tamaño: la máquina puede agrandarse tanto como lo desee el usuario. Así, la idea «la máquina evaluadora existe» se podría introducir a la máquina evaluadora y ésta arrojaría el «Sí», puesto que dicha máquina existe si ya se dijo que se introdujo la idea en ella.

Otra idea que pudiera introducirse en la máquina evaluadora sería la «Lógica», es decir, todos juntos los razonamientos más básicos con los cuales cuenta cualquier persona o máquina razonable, incluida la máquina evaluadora. Esto es, se introducen las reglas para usar el «No», el «Si..., entonces», el «Para todo» y el resto de las palabras que emplean los seres razonables (gente o artefactos). En otras palabras, se introducen todas las reglas necesarias para expresar cualesquiera «cosas» de forma razonable. Como la máquina evaluadora se ha construido en el primer párrafo del presente texto por medio de razonamientos, basta con que la Lógica exista para que la máquina evaluadora también exista. Si no existiera la Lógica, la máquina evaluadora tampoco existiría. Y, entonces, al introducir la «Lógica» a la máquina evaluadora, ésta anunciará el «Sí»: de anunciarse el «No», significaría que la Lógica no es razonable, que las «cosas» razonables no existen, que la máquina evaluadora no puede existir y que la anunciación tampoco debería existir, lo cual resultaría absurdo. Así se logra probar que la Lógica funciona y que no le falta nada para funcionar: la Lógica está completa. Esta es la noción del teorema de completitud (o suficiencia, pues todo lo que tiene la Lógica es suficiente para que ésta funcione) de Gödel. Ordinariamente se expresa el teorema de completitud de Gödel como «La Lógica es completa, es suficiente, y sólo deduce “cosas” lógicas». En efecto, si la Lógica no pudiera deducir «cosas» lógicas, es decir, frases comprensibles a todos que puedan afirmarse o negarse (como –La máquina evaluadora existe, –Sí), la máquina evaluadora no podría existir, pero eso contradeciría la existencia del primer párrafo en el presente texto.

Se tiene ahora una réplica de la máquina evaluadora para poder evaluar a la primera máquina evaluadora. Se introduce así a la primera dentro de la réplica. Para probar que la máquina evaluadora funciona por completo, la réplica tiene que introducir en ella todos los objetos existentes y observar que haya un «Sí» o un «No». Se asume, con tal de evitar controversia entre que el «Sí» o el «No» de la máquina evaluadora por evaluar es válido o no, que el aparato sí funciona por completo para todos los objetos existentes. La réplica introduce objetos diversos, ideas, abstracciones, etc., a la máquina original y después de recorrer la amplia gama de «cosas» que la ilimitada versatilidad de la máquina evaluadora permite, sólo queda un objeto por evaluar: a la máquina evaluadora original. Es más, queda otro objeto por evaluar: a la réplica de la máquina evaluadora original. Sin embargo, como se trata de una réplica, probando que la original funciona, necesariamente funciona la réplica. Y si no puede probarse que la original funciona, tampoco puede probarse que la réplica funciona. Resulta que la réplica no “halla” (no se sabe con exactitud si las máquinas evaluadoras poseen voluntad para “hallar”, y ni siquiera se sabe con precisión lo que es la “voluntad”) la forma en que la máquina original pueda evaluarse a sí misma. La máquina evaluadora, en principio, no puede introducirse a sí misma. Dada la imposibilidad de evaluar por completo a la máquina original, la réplica no anuncia ni el «Sí» ni el «No», a pesar de que se había asumido que la original sí funcionaba por completo y que debería anunciarse el «Sí». En resumen, ninguna máquina evaluadora puede ser evaluada con el «Sí» aunque funcione por completo.

Este resultado no puede evitarse de ninguna forma. Podría suponerse incluso que la máquina evaluadora es tan versátil que entre sus posibilidades está otra máquina evaluadora conectada de alguna forma como extensión de ella misma. Entonces la máquina puede introducirse a sí misma. No obstante, si el anuncio fuese «Sí», no habría forma de garantizar que esto es cierto, a pesar de que la máquina en verdad funcione por completo. No habría tal forma porque para ello se requeriría saber si la extensión de la máquina funciona. Para evaluarla sería necesario que una réplica efectuase la evaluación, y se ha observado que no existe respuesta en este caso, o que la máquina evaluase su propia extensión, pero vuelve a obtenerse el mismo resultado: no hay garantía de que el «Sí» sea válido. Además, el «Sí» tendría una validez dudosa por un segundo motivo: la extensión no puede evaluarse a sí misma y no puede conocerse si funciona por completo. Si el anuncio de la máquina evaluadora siendo evaluada por su extensión quedase «No», resultaría absurdo. Inmediatamente puede observarse la paradoja del mentiroso: si la máquina no funciona, entonces el «No» anunciado por ella misma es falso y debería ser un «Sí», pero de ser así el anuncio inicial hubiera sido el «Sí», lo cual no es cierto.

Reiterando, ninguna máquina evaluadora puede ser evaluada. Y asumiendo que la máquina evaluadora funciona, no es posible hacer un anuncio que la evalúe, ni el «Sí» ni el «No». También se observa que todas las máquina evaluadoras que funcionan no logran jamás completar todas las evaluaciones posibles. Son capaces de evaluar casi todos los objetos, ideas, abstracciones, etc., existentes, pero siempre hay al menos un objeto que no son capaces de evaluar y que es el faltante para completar todas las evaluaciones posibles. No puede haber mejor diseño de una máquina evaluadora: la construida en el primer párrafo tiene un diseño óptimo, puesto que abarca la gama de objetos por evaluar más amplia posible.

Expresando un teorema, «las máquinas evaluadoras que funcionan son necesariamente incompletas», porque siempre les hace falta al menos un objeto por evaluar, ya sea la máquina en sí misma u otras máquinas evaluadoras. Como las máquinas evaluadoras que funcionan anuncian el «Sí» o el «No» correctamente, es fácil de comprender que sean coherentes. Esto es, las máquinas evaluadoras que funcionan no mienten porque el anuncio que hacen es verdadero en todos los casos, salvo cuando se trata de evaluarse a sí mismas o a otras máquinas evaluadoras. Aunque en este caso no exista anuncio, ni «Sí» ni «No», la máquina no está mientiendo: no hay anuncio porque las máquina evaluadoras nunca logran terminar el proceso de evaluación de ninguna máquina evaluadora. Se considera también que las máquinas evaluadoras están incompletas porque siempre hay un anuncio (verdadero, porque se asume que las máquinas evaluadoras funcionan y por ello son coherentes) faltante.

Las máquinas evaluadoras pueden concebirse como obras construidas con los ladrillos de la Lógica. Son, aunque no constituye su función –que es evaluar si un objeto funciona o no–, también estructuras lógicas porque sólo anuncian o un «Sí» o un «No». De hecho, cualquier «cosa» que anuncie sólo el «Sí» o sólo el «No» es una máquina evaluadora. Quizá no evalúe que un objeto funcione o no, pero puede evaluar, por ejemplo, si una idea es verdadera o falsa. Los mismos resultados observados en cuanto a la incompletitud de las máquinas evaluadoras se obtienen para cualquier estructura lógica que sólo anuncie o el «Sí» o el «No». Entonces, para cualquier estructura lógica coherente, que no miente, (como las máquinas evaluadoras) siempre será imposible anunciar el «Sí» y el «No» de al menos una idea, sea cual sea el criterio por afirmar o negar. En general, todas las estructuras lógicas coherentes son incompletas; siempre hay criterios imposibles de ser negados o afirmados. Esto último se conoce como el teorema de incompletitud de Gödel.

Por lo tanto, no es posible que siendo coherentes, sin llegar a paradojas –contradicciones–, tal y como lo hacen las máquinas evaluadoras que funcionan y que necesariamente son coherentes, se puedan hacer siempre anuncios verdaderos de «Sí» o «No», pues al menos habrá uno que aun siendo verdadero, como el «Sí [funciona la máquina evaluadora]», no pueda emitirse. Por consiguiente, la Lógica sólo da lugar a la construcción de «cosas» lógicas, pero no al anuncio de todas las verdades.

No solamente las aseveraciones que se refieran a las máquinas evaluadoras definidas en el primer párrafo reflejan la incompletitud de las mismas. Por ejemplo, supóngase que existe el objeto (real o abstracto) que contiene a todos los objetos, ideas o abstracciones existentes, excepto a sí mismo. A este objeto se le denomina el Universo. La máquina evaluadora, por supuesto, se halla contenida por el Universo, el mismo que contiene tanto al tiempo como al espacio, a la vida misma, a los “Multiversos” deducidos por teorías cosmológicas diversas, a la Lógica, y todo aquello presente en la Naturaleza. Si se desea que la máquina evalúe al Universo, será imposible: si lo evalúa sólo sería como un objeto más grande que él, y para ello tendría que dejar de ser contenido por el Universo, situación que no es posible porque el Universo, tal y como se lo ha definido, contiene todos los objetos existentes. Si un objeto no está contenido por el Universo, es porque no existe. Y la máquina evaluadora debe de existir para evaluar al Universo. Se ha encontrado un ejemplo de objeto que no puede ser evaluado por las máquinas evaluadoras, al igual que ellas mismas. No sólo esto: la incompletitud existe porque el Universo después de todo funciona igual que una máquina evaluadora, es decir, funciona de forma coherente. O de otra forma, el Universo funciona de forma coherente (situación que no alcanzó nunca a comprender Albert Einstein) porque contiene a la Lógica que además lo construye. Como las máquinas evaluadoras no pueden evaluar al Universo, no es posible saber si el Universo funciona, aunque esté funcionando. El propósito funcional del Universo quizá exista, quizá no. Cualquiera de las dos aseveraciones es coherente, puesto que no importando si tal propósito existe o no, es imposible evaluarlo.

Nótese que las máquinas evaluadoras nunca han abandonado el ámbito de las ideas. Las máquinas evaluadoras son abstracciones aquí sugeridas, y por ello el teorema de incompletitud de Gödel es válido para ellas (el teorema es válido sólo para las estructuras lógicas coherentes, que al fin y al cabo son sólo ideas). No obstante, las máquinas evaluadoras pueden ser construidas. Cualquier ordenador es capaz de anunciar el «Sí» o el «No» sobre cualquier idea que le sea programada, pero siempre le faltará anunciar el «Sí» o el «No» sobre algún aspecto quizá insospechado.

Finalmente, el cerebro, que es comúnmente figurado como un ordenador, también es susceptible del teorema de incompletitud de Gödel. El cerebro puede evaluarse a sí mismo. Las personas son capaces de concebir, gracias a su cerebro, si tienen éxito en la vida o no, si son expertos en algún ámbito o no, si son mentirosas o no... Existe una gran variedad de anuncios del tipo «o Sí, o No» que las personas pueden admitir porque el cerebro lo permite. Cuando el cerebro se evalúa a sí mismo no importando el criterio, actúa como una máquina evaluadora que se evalúa a sí misma. Ha de recordarse que en este caso la máquina evaluadora se observaba o bien con una veracidad dudosa, o bien, incoherente. Por lo tanto, el cerebro permite la incoherencia mientras funciona. Esto no es extraño: la gente suele actuar de forma absurda e inexplicable –se cometen locuras–. Pero más allá de evitar las locuras, la orientación puede ir en sentido inverso: estimular la construcción de ordenadores que permitan el anuncio de absurdos, es decir, tanto el «Sí» como el «No» cuando debería ser únicamente el «Sí» o el «No». Después de todo, el cerebro resulta razonable porque suele emitir anuncios coherentes, o en otras palabras, el cerebro es muy probablemente coherente, razonable. La mayor parte del tiempo el cerebro no anuncia absurdos. Y quizá el cerebro pueda anunciar el «No» una vez cuando debería anunciar el «Sí», pero anuncia el «Sí» un gran número de ocasiones posteriores. Es fácil de entender que la respuesta más probablemente correcta sea el «Sí». Esto lleva a inferir que la actuación de los ordenadores a la manera que lo hace el cerebro lleva a la descripción probabilística de la veracidad o falsedad de sus anuncios. La construcción de ordenadores semejantes al cerebro quizá conlleve a la tan esperada construcción de robots con la posibilidad de tener una aparente voluntad y una conciencia.

25 de Octubre de 2013

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viernes, 13 de diciembre de 2013

PARA HALLAR CONTRADICCIONES (O MENTIRAS)


Sócrates, el padre de la búsqueda de la verdad.

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Iterando se llega a Roma.

1. Lea o escuche atentamente.
2. Intente refutar lo leído o escuchado.
3. Si no lo logra, siga intentándolo.
4. Si lo logra, verifique que usted no se contradiga.

Cabe mencionarse que en ocasiones se miente inocentemente, por la ignorancia intrínseca del ser humano.
13 de Diciembre de 2013
  
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EL JUEGO DE LA INTUICIÓN



Kurt Gödel, el genio.




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***

Érase una vez dentro de la lámpara maravillosa el genio cuya libertad dependía de cumplir los tres deseos. Érase una vez, también, un amo gödeliano que pidió al genio como segundo deseo que sólo le cumpliera dos, es decir, el primero y ese segundo, no más, no menos. El genio vio su eterna esclavitud en un tercer deseo indecidible.

***

Érase una vez dentro de la lámpara maravillosa el genio que sería libre una vez cumplidos los tres deseos. Érase una vez, también, un amo gödeliano cuyo primero deseo fue que ningún deseo posterior se cumpliera. El genio vio su eterna esclavitud en un par de deseos indecidibles por ser planteables pero inalcanzables.

***

Érase una vez dentro de la lámpara maravillosa el genio anhelando el tercer deseo que lo haría libre. Érase una vez, también, un amo gödeliano que pidió como tercer deseo el tener disponible un deseo más por cada deseo que él pidiera. El genio vio su eterna esclavitud en una interminable secuencia de deseos por un siempre indecidible último deseo.

***

Érase una vez dentro de la lámpara maravillosa el genio esperando aquél tercer deseo que lo llevaría a la libertad. Érase una vez, también, un amo gödeliano que pidió como tercer deseo que el genio le mencionase todos los deseos posibles de plantearse. El genio vio su esclavitud en la amplitud del lenguaje lógico.

***

Érase una vez dentro de la lámpara maravillosa el genio esperando su libertad. Érase una vez, también, un amo gödeliano que pidió como tercer deseo que el genio le cumpliese todos los deseos posibles de plantearse, pero sin caer en contradicción, que ningún deseo contradijera a los otros. El genio vio su esclavitud en un deseo posible pero indecidible, imposible de saberse si contradecía a los demás. Imposible de saberse en algún aspecto de su existencia.

***

Érase una vez dentro de la lámpara maravillosa el genio que tras cumplir los tres deseos volvería a ser libre. Sin embargo, después de algún tiempo dejó de pensar en ello. Cualquier amo gödeliano llegaría ante él y le haría esclavo eternamente por alguna situación lógica indecidible. Lo que es más, su libertad radicaba en el destino de su lámpara, las coordenadas en espacio-tiempo de su prisión. Pero estando fuera de la lámpara, su libertad radicaría en el destino de la Tierra, o en el destino del Universo, las coordenadas en espacio-tiempo de su prisión libertaria. Ni siquiera él sabía si algunas coordenadas en espacio-tiempo exactas existían. Su libertad radicaba en la imprecisión de los días y los lugares, en que los rumbos siempre fuesen inciertos. Cualquier figura gödeliana llegaría para decirle que tal o cual cosa le era imposible de realizar, siendo él genio o no. Nunca observaría en su libertad la causa de su basta prisión universal. Harto de todo ello, el genio se resignó a tomar su existencia como era, dentro de la lámpara, quizá más pequeña que el Universo al cual pertenecía, quizá más insignificante que cualquier otro objeto, pero igualmente sometido a las reglas del juego de la vida misma, el juego de la intuición.

13 de Diciembre de 2013


viernes, 15 de noviembre de 2013

EL SENTIDO LÓGICO DE LA MATEMÁTICA Y SU INCOMPLETITUD


Giuseppe Peano, el hombre
de la Aritmética intachable.




Sobre los cimientos de la evidencia inductiva,
la repetitiva y consecutiva, ha de ser erigido
el edificio de la Matemática.



Los axiomas de Peano:
la caracterización más inmediata
observable en los números naturales.


De éstos:

1. «1» es el primero.
2. sucesor y antecesor son únicos.
3. pueden formarse colecciones.


***


A continuación se presenta una simplificación a la demostración del teorema de incompletitud de Gödel.

Kurt Gödel pretendía demostrar que, como muy probablemente él había intuido, la Matemática según la conocían en su época, no podía permitir la deducción de todas las verdades matemáticas posibles; carente de la deducción de alguna o algunas verdades, se dice entonces que la Matemática está –o es– incompleta (porque faltan verdades para ser deducidas por la Matemática).

Se opta por simbolizar cada palabra que se utilizará para plantear –como suele hacerse– las leyes y teoremas matemáticos. Por ejemplo, una ley matemática común es que «la suma 1+2+3+...+n equivale a efectuar el cálculo n·(n+1)/2». Esta ley puede comprobarse fácilmente: si n=7 y se efectúa la suma 1+2+3+4+5+6+7, queda como resultado 28. Asimismo, aplicando la fórmula n·(n+1)/2 con n=7, queda como resultado 28. Esta ley puede expresarse simbólicamente como

1+2+3+...+n=n·(n+1)/2

Aquí, cada palabra está simbolizada: la palabra «uno» equivale al símbolo «1», la palabra «más» equivale al símbolo «+», la expresión «es igual a» se simboliza como «=» y la expresión «número natural» se expresa como «n». Sin embargo, no son todas las palabras empleadas para plantear leyes matemáticas. Para expresar «Cualquier número natural» no sólo basta con «n», sino que debe emplearse el símbolo «», o sea «Cualquier» –o «Para todo», como se desee entender–. La expresión «Cualquier número natural» se simbolizaría entonces como «∀n». La ley realmente tendría que ser detallada como

n 1+2+3+...+n=n·(n+1)/2

Hay leyes que en Matemática no preteden afirmar, sino negar algo. Por ejemplo, en Matemática no puede repartirse nada entre una cantidad inexistente de partes. Uno puede repartir cuatro manzanas entre dos partes y a cada una le corresponden dos manzanas. También se pueden repartir cinco manzanas entre una parte y a ésta le corresponden las cinco manzanas. O bien, las manzanas pueden incluso ser cortadas para repartirlas entre dos, tres, cuatro,..., «n» número de partes. Sin embargo, repartir una manzana entre ninguna parte ni siquiera tiene sentido. Simplemente para repartir una manzana se requiere al menos de una parte a la cual ceder la fruta. Entonces la ley Matemática se expresa como «La división entre cero de cualquier número no es válida» –o «repartir entre ninguna parte no es válido»–. O dicho de otra forma, «En la división de cualquier número, se reparte entre un número “n” de partes, siendo que “n” no es igual a cero» –o «al repartir, el número de partes no debe ser igual a cero»–. La división de un número entre otro se simboliza como «m/n» –«m» entre «n»–. Que el número de partes no sea igual a cero se simboliza como «¬n=0» –«n» no (¬) es igual a 0–. Finalmente, la expresión debería de escribirse como

m∀n m/n → ¬n=0; el símbolo «» indica «cuando..., entonces». O sea «Cuando cualquier número “m” es repartido entre cualesquiera “n” partes, entoncesn” no es igual a 0».

Básicamente, para expresar lo que sea necesario de las leyes matemáticas se requiere de

1. Variables, tales como los «números» o los «números naturales», todos ellos pudiendo ser simbolizados con letras («n», «m», etc.) No sólo pueden ser números las variables, sino cualquier tipo de objetos que se observen y que pertenezcan al ámbito matemático: matrices, conjuntos, series, estructuras algebraicas, etc.
2. Constantes, tales como las ya conocidas «0», «1», y otras, que se comprenden idénticamente sea que estén escritas en una ley matemática o en otra.

Obsérvese que en la primera ley que se presentó, «n» significaba «número natural», mientras que en la segunda ley «n» expresaba «número». La diferencia está en que los números naturales son el «1» y todos aquellos que le siguen tras haber sumado «1», es decir, «2», «3», «4», etc.; los números, en general, pueden ser «2/3», «4.5», «7.01», «3», etc. Los números naturales son números, pero no todos los números son números naturales.

3. Relatores, tales como «=» (es igual a), «+» (más), o «/» (repartido entre... partes). Los relatores muestran la relación que existe entre las variables o las constantes. Por ejemplo, en «n+1» se muestra la relación entre la variable «n» y la constante «1».
4. La expresión «Cualquier», «».
5. La expresión «Cuando..., entonces», «».
6. La expresión «No», «¬».
7. Signos de puntuación, en este caso los paréntesis «( )», que permiten la correcta visualización de los relatores. También pueden usarse comas «,» como suele hacerse en la Matemática.

Si faltasen los paréntesis en n·(n+1)/2 para la primera ley presentada quedaría n·n+1/2, lo cual puede intepretarse, si n=7, como 7·7+1/2, ó 49+1/2, ó 49.5, sin embargo el resultado no concuerda con la ley presentada donde debería ser 28 como ya se calculó anteriormente.

A partir de los símbolos para expresar leyes matemáticas pueden deducirse situaciones sutiles. Para obtener una de ellas, se propondrá la existencia de un relator que exprese, como puede ser, si una ley matemática es verdadera o falsa. Esto, evidentemente, no ha abandonado el ámbito de la Matemática: se trata a las leyes matemáticas, dada esta propuesta, como un objeto de estudio de la Matemática misma. Ahora las «leyes matemáticas» son las variables como antes lo eran los «números». Pueden representarse las leyes con w.

Antes se probó que la ley 1+2+3+...+n=n·(n+1)/2 era verdadera cuando n=7 porque se cumplió que tanto al sumar consecutivamente como al emplear la fórmula el resultado era idéntico, 28. Esto muestra cómo puede saberse si una ley matemática es verdadera en un caso. Para considerar que dicha ley es completamente verdadera, debe de cumplirse para cualquier caso con el cual se ensaye. Esto es, intentando n=1, n=2, n=3, etc. debe obtenerse el cumplimiento de la ley para declarar que ésta es completamente verdadera. Entonces, el relator inventado para evaluar la veracidad de una ley matemática puede declarar si aquella que trate de evaluar es verdadera para un caso particular cuando el valor que dé como resultado sea 1, es decir, el relator va a relacionar al caso particular con la ley, luego se obtiene un resultado de dicha relación y si éste es igual a 1, es porque la ley resulta verdadera para dicho caso. Si no es igual a 1, entonces la ley es falsa para dicho caso y, lo que es más, la ley no es completamente verdadera. El relator V(z,w) expresa «para el caso z se evalúa la veracidad de la ley w». Lo que se ha dicho es «Si en cualquier caso z se evalúa la ley w y el resultado es igual a 1, entonces la ley w es completamente verdadera». Con la simbología ya conocida, queda

z∀w V(z,w)=1 → B(w,w)=1

El relator B(w,w) relaciona a la ley w consigo misma expresando «La ley w actúa verazmente como w en la evaluación V(z,w)». Si B(w,w) es igual a 1, la ley w se expresa que es verdadera.

La pregunta que lleva a una de las sutilezas que se refirió existían es: ¿la ley ∀z∀w V(z,w)=1 → B(w,w)=1 es completamente verdadera? Para saberlo sólo es necesario evaluar con V(z,w) dicha ley que por fines de abreviatura se representa con la letra q. Entonces se efectúa la evaluación V(z,q) para todos los casos, y para esta ocasión particular todos los casos corresponden a cada una de las leyes matemáticas posibles. Más allá de creer que esto es una hazaña irrealizable, se asume que todas las posibles leyes pueden fácilmente ser evaluadas con acierto por la ley q (tal y como q lo describe), y con ello cada una de las evaluaciones V(z,q) da como resultado 1. Finalmente, sólo quedaría una ley por ser evaluada y sería la misma ley q, esto es, V(q,q). ¿Es posible hacer dicha evaluación?

Para conocer si B(q,q)=1 hace falta que V(q,q)=1. Si esto es posible, es porque con anterioridad se sabía que V(q,q)=1. Admitir esto simplificaría la solución del problema, pero realmente nunca se ha sabido por una evaluación real si eso, V(q,q)=1, es cierto, como en el caso de la ley donde siendo n=7 se obtiene una igualdad en los resultados con n·(n+1)/2. Realmente no puede efectuarse la evaluación V(q,q) porque eso requiere que esta misma haya sido efectuada con anterioridad, lo cual no ocurre. Si la evaluación queda V(q,q)=0, tampoco sería realista pues esto también requiere que la misma evaluación haya sido efectuada con anterioridad y que su resultado haya sido V(q,q)=0, lo cual sigue sin ocurrir. Entonces el resultado de B(q,q) no puede obtenerse.

Esto es notable. A partir de los símbolos que permiten expresar la Matemática hay una ley cuya veracidad completa o falsedad no puede ser asegurada. Lo que es más, y en términos generales, para la Matemática, asumiendo que ésta sea verdadera por completo en todas sus leyes, hay leyes que no pueden ser deducidas, aunque éstas sean ciertas. Que B(q,q) no tenga resultado no implica que q no pueda ser verdadera. Así, aunque todas las leyes de la Matemática sean verdaderas, debe existir alguna cuya veracidad, aun siendo completamente verdadera, no pueda ser deducida.

Obsérvese que este resultado no depende de que las leyes matemáticas sean muchas o pocas, incontables o no, sino de lo permisible que resulta el uso de la simbología que se emplea para expresar dichas leyes.

Pero Gödel fue reconocido no sólo porque haya demostrado que la Matemática está incompleta al no declarar falsedades, sino porque no sólo es la Matemática la que emplea los símbolos definidos al comienzo para expresarse: toda la Ciencia, todo aquello que pueda considerarse racional, lógico, incluso nuestra habla diaria, puede representarse con esa simbología. Las variables pueden ir desde lo más común como la variable de los muebles, de las prendas de vestir, de las flores, etc., hasta lo más sofisticado como la variable llamada carga eléctrica, el campo magnético, las longitudes, etc., todo aquello es susceptible de no poder garantizar su completa veracidad en todas las leyes que se posean. Siempre habrá alguna ley carente de veracidad o falsedad reconocibles de forma lógica.

15 de Noviembre de 2013