Teorema de incompletitud de Gödel


Kurt F. Gödel, en «Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines» [paráfrasis]:

«Existen argumentos lógicos imposibles de ser deducidos verdaderos o falsos; entre ellos, la coherencia de dichos razonamientos.»

La existencia verdadera o falsa de algo (por ejemplo, las piedras; al contrario, las hadas), no implica que la misma sea demostrable así, ni que deba o no tenerse fe en cualquiera de estas posibilidades.

·

La creatividad surge de hallar –pensando diferente del resto– ideas absurdas, para así nuevamente pensarlas y darles coherencia.

Ahí la importancia de la Lógica: porque sólo con ella es posible tanto hallar los absurdos como obtener la coherencia.

·

domingo, 7 de diciembre de 2014

REAL

Teorema de Cantor: existen más versos en
el poema «Real» que números naturales.

·

«¡Ah, mas si ella adivinase,
si pudiese oír o mirar,
y si un mirar le bastase
para saber que amándola están! »

El amor. F. Pessoa

·

A Paulina Sánchez Cuna


Si te culpo y disculpo en la misma ocasión;
si te quiero conmigo y «te quiero» sin mí;
si tan libre me siento cercado por ti;
si despierto eres sueño y tangible ficción;

si tu imagen me calma y otorga pasión;
wenn wir zusammen immer noch sofort sind;
si je trouve la raison de ton âme et folie;
if the time that I'm missing is always with us;

si preguntas y digo sin más aprensión
«Si te culpo y disculpo en la misma ocasión;
si te quiero conmigo y «te quiero» sin mí;

si tan libre me siento cercado por ti;
si despierto eres sueño y tangible ficción; [...]1.»,
es porque te adoro, porque te amo hasta el fin.


Del 3 al 5 de Diciembre de 2014

1. Nota: se exhorta al lector
a que vuelva al quinto
verso y continúe.
 
 

jueves, 27 de noviembre de 2014

LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL DEL LÍMITE «e». (ANÁLISIS INDEPENDIENTE DEL TEOR. DE TAYLOR)

El texto puede leerse desde este vínculo en formato pdf:



 
  En la imagen, gráfica elaborada con la función exponencial del límite «e»
 
 ·

Para abrir los vínculos del texto (en azul), dé click derecho sobre ellos -desde el archivo pdf- para «Copiar la dirección del vínculo» (o «Copy link adress»). 
 
 
27 de Noviembre de 2014
 
 

domingo, 16 de noviembre de 2014

EL TEOREMA DE CANTOR Y LA INDECIDIBILIDAD DE LA HIPÓTESIS DEL CONTINUO

 Georg Cantor, el creador de la
primera Teoría de conjuntos.


El texto puede leerse desde este vínculo en formato pdf: El Teorema de Cantor y la indecidibilidad de la Hipótesis del continuo.

 ·

Cabe mencionarse que la demostración presentada sólo es válida para los números naturales (o bien, los racionales en lugar de los naturales) y los números reales, y no para los "conjuntos potencia" que pudieran obtenerse de los números reales. Esto es porque la demostración ha sido analítica, prescindiendo, en parte, de la axiomática de la teoría de conjuntos ZFS.

16 de Noviembre de 2014
 
 

lunes, 27 de octubre de 2014

SOBRE LA RELACIÓN ENTRE LAS RAÍCES DEL POLINOMIO GRADO 2 Y SUS COEFICIENTES


A continuación, el siguiente:

Teorema. Sea un polinomio de raíz dada, entonces la raíz del polinomio
con los coeficientes invertidos en su orden es el recíproco de la raíz del
primer polinomio. (Teorema de la raíz recíproca, 2 de Octubre de 2011)

Se demostrará la validez de lo anterior para un polinomio de grado 2. El mismo razonamiento se sigue para los polinomios de grado n:

1. a·x2+b·x+c=0, es el polinomio de grado 2. La raíz de este polinomio es x.

2. c·z2+b·z+a=0, que es el polinomio con los coeficientes invertidos en su orden. Según el Teorema, la raíz de este polinomio es 1/x. Esto es,

3. c·(1/x)2+b·(1/x)+a=0, satisface la ecuación.

4. c+b·x+a·x2=0, efectuando el producto de la expresión en 3 con el factor x2.

5. a·x2+b·x+c=0, sin alterar esencialmente la expresión en 4 (el orden de los sumando no altera el total).

Si suponiendo en 3. que el Teorema era cierto se obtuvo de forma equivalente la expresión en 1., entonces siendo cierta 1. es necesariamente cierta 3.


La demostración anterior permite la siguiente deducción:

1. La raíz del polinomio a·x2+b·x+c=0 se calcula como

x=[-b+(b2-4·a·c)½]/(2·a).

También se calcula como x=[-b-(b2-4·a·c)½]/(2·a).

2. La raíz del polinomio c·z2+b·z+a=0 se calcula como

z=[-b+(b2-4·a·c)½]/(2·c).

También se calcula como z=[-b-(b2-4·a·c)½]/(2·c).

3. Según el Teorema, z=1/x, porque ambos polinomios son de coeficientes invertidos en su orden uno respecto al otro.

4. Eso implica lo siguiente:

x=[-b+(b2-4·a·c)½]/(2·a)=2·c/[-b-(b2-4·a·c)½].

5. También implica lo siguiente:

x=[-b-(b2-4·a·c)½]/(2·a)=2·c/[-b+(b2-4·a·c)½].

Lo expresado en 4. y 5. no es necesariamente obvio, por lo cual se demostrará que, en efecto, es correcto:

6. Para 4., [-b+(b2-4·a·c)½]·[-b-(b2-4·a·c)½]=4·a·c, es válido, al convertir en factores los denominadores.

7. Luego, b2-b2+4·a·c=4·a·c se deduce al efectuar el producto, o bien, 4·a·c=4·a·c, que es realmente cierto (por ser una identidad), lo cual demuestra que lo expresado en 4. es igualmente cierto.

Con un procedimiento análogo se demuestra la veracidad de la expresión en 5.

Entonces, del Teorema de la raíz recíproca se observa el siguiente

Corolario. Para un polinomio de grado 2, a·x2+b·x+c=0, es posible
calcular sus raíces con las expresiones a continuación:

x=[-b+(b2-4·a·c)½]/(2·a)=2·c/[-b-(b2-4·a·c)½], y
x=[-b-(b2-4·a·c)½]/(2·a)=2·c/[-b+(b2-4·a·c)½]


Con ello se pretende hacer notar que la fórmula general para la resolución de polinomios grado 2, es decir, la expresión x=[-b+(b2-4·a·c)½]/(2·a) ó x=[-b-(b2-4·a·c)½]/(2·a), tiene un equivalente algebraico, es decir, x=2·c/[-b-(b2-4·a·c)½] ó x=2·c/[-b+(b2-4·a·c)½], respectivamente, mostrándose que no es tan única (como así se ha expuesto al público en general durante bastante tiempo) la primera forma.

27 de Octubre de 2014


domingo, 26 de octubre de 2014

HIPÓTESIS: EL TEOREMA DE PITÁGORAS


Pitágoras, en cuya escuela surgió
el teorema que lleva su nombre.


ACOTACIONES

A partir de la siguiente figura,


arbitraria en cuanto a sus dimensiones, apenas representativa, se demostrará verdadera la

Hipótesis. Para todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa –lado frente al ángulo recto (de 90°)– es igual a la suma de los cuadrados de los catetos –los lados restantes–.

Expresado con símbolos de acuerdo a la figura, se tiene como hipótesis

MN2=NQ2+MQ2, para ΔMNQ,
NQ2=NP2+PQ2, para ΔNPQ, y
MQ2=MP2+PQ2, para ΔMPQ,

porque los triángulos citados son rectángulos. Siendo sus dimensiones arbitrarias, la demostración será válida para todos los triángulos rectángulos, como la hipótesis enuncia. Se subraya a los segmentos de recta para expresar que se está calculando de acuerdo a su longitud.

Asimismo, se cuenta con la

Tesis. Los ángulos ∡MQP y ∡MNQ son iguales;
también los ángulos ∡NQP y ∡PMQ lo son.

Esto porque, según la figura, para el triángulo ΔMNQ, ∡MQP+∡NQP=90°. Luego, para ΔNPQ, ∡MNQ+∡NQP+∡NPQ=180° porque la suma de los ángulos internos de un triángulo suman siempre 180°. No obstante, ∡NPQ=90°, pues ΔNPQ es un triángulo rectángulo. Entonces, ∡MNQ+∡NQP+90°=180°, o bien, ∡MNQ+∡NQP=90°.

De todo ello,

 ∡MQP+∡NQP-(∡MNQ+∡NQP)=90°-(∡MNQ+∡NQP)=90°-90°=0°

y reduciendo términos semejantes, queda ∡MQP-∡MNQ=0°, es decir, ∡MQP=∡MNQ, que es finalmente la observación hecha por la tesis. Con argumentos similares es posible deducir ∡NQP=∡PMQ.

Para simplificar la expresión de los ángulos, será en adelante ∡MQP=∡MNQ=α.


DEMOSTRACIÓN

1. MN2=NQ2+MQ2, considerando que la hipótesis sea verdadera.
2. (MP+NP)2=NQ2+MQ2, porque el segmento MN es igual a la suma de sus partes, MP y NP.
3. MP2+2·MP·NP+NP2=NQ2+MQ2, desarrollando el binomio cuadrado.
4. MP2+2·MP·NP+NP2=(NP2+PQ2)+(MP2+PQ2), porque siendo verdadera la hipótesis, NQ2 y MQ2 son expresados en términos de la suma de sus partes.
5. MP·NP=PQ2, reduciendo términos semejantes.
6. MP/PQ=PQ/NP, válido por la expresión anterior.

Como, de acuerdo con la tesis, MP/PQ=tan(α) para ΔMPQ, y PQ/NP=tan(α) para ΔMPQ,

7. tan(α)=tan(α), lo cual es realmente verdadero.

Así, obteniendo una expresión realmente verdadera partiendo de que la hipótesis era verdadera, debe ser esta última correcta.


20 de Octubre de 2014


domingo, 12 de octubre de 2014

SOBRE LA REALIDAD DE LAS INVESTIGACIONES

Los siguientes pasos pretenderán mostrar a grandes rasgos en qué consiste una investigación, omitiendo, por supuesto, las particularidades que cada disciplina del conocimiento implique, pero mostrando lo que en todas sin excepción se puede encontrar. Así, una investigación se construye como a continuación se describe:

  1. Contemplando la Realidad

    Antes que efectuar experimentos u obtener conclusiones sobre aquellos, es menester recordar de dónde parte todo. Y es en la Realidad que es posible encontrar a la Realidad misma.

    Entonces cabe preguntarse, «¿qué es real?», o bien, «¿qué no es real?», pues sabiendo la respuesta para esta segunda pregunta, lo que reste responderá la primera. Y el lector se preguntará si tiene algún sentido cuestionar en qué consiste la Realidad, pudiendo pasar directamente a los experimentos y conclusiones. Luego, quien escribe el presente texto contestará que tiene bastante sentido porque la Realidad es una de las “cosas” que no puede investigarse.

    Estrictamente, es imposible demostrar si un objeto es real o no y, sobre todo, es imposible demostrar si la realidad misma es real o no. Se puede concluir que un objeto es verdaderamente real y que otro es irreal por un motivo que, empleando lógica de primer orden, lleva a la deducción de que ciertas conclusiones no son verdaderas ni falsas. Tal motivo es el siguiente:

    Asumiendo que un objeto X sea verdaderamente real, tendría que existir una “caraterística” garantizándolo, misma que esté además presente en todos los objetos igualmente reales.

    Con ello, ha de ser la característica «ser real» la que, redundantemente, garantice la realidad de las “cosas reales”. ¿Y cómo estudiar una característica que apenas se intuye en su existencia porque ni siquiera se tenga una demostración contundente de la misma?

    Existen muchas propuestas filosóficas al respecto, y todas son válidas en la medida de que alcanzan los objetivos que pretenden. No obstante, todas esas propuestas se resumen, a saberse, en dos tipos: 1) las que asumen de antemano, de manera dogmática, qué sí y qué no es real; y 2) las que siempre se preguntan, de manera escéptica, qué sí y qué no es real.

    Las primeras, las dogmáticas, una vez llegado al consenso de qué es real y qué no, lo mantienen así. Las segundas, las escépticas, una vez llegado al consenso de qué es real y qué no, son capaces de generar más consensos y modificar aquello que se tiene por real para tenerlo por irreal posteriormente.

    Ambas implican ventajas y desventajas de diversa índole (política, sobre todo), pero la desventaja en común es que dependen de consensos sobre lo que es real y lo que es irreal. Estos consensos, ahora es posible señalarlo, surgen de la duda sobre la realidad de las “cosas”.

    Ni siquiera las maneras de filosofía dogmática son tan dogmáticas, pues, como ya se mostró, parten de la misma duda que las maneras escépticas tienen sobre la Realidad. Sin embargo, los mismos consensos llevan a ambos tipos filosóficos a ser dogmáticos, es decir, ni siquiera las maneras escépticas pueden jactarse de ser absolutamente escépticas siendo que llegan a un acuerdo final como en las maneras dogmáticas. Que el consenso es modificable, sí, pero mientras no llegue a ser modificado, se mantiene como en las maneras dogmáticas.

    Es así que las personas se reúnen y determinan qué es real y qué no, unas cuestionando cada cierto tiempo sus determinaciones, otras no, pero siempre intentando llegar a la aceptación generalizada de la Realidad de las “cosas”, porque sólo así es menos probable que los individuos se vean a sí mismos como “locos” creyendo real lo que para la mayoría de las personas es irreal. Somos “seres sociales” y como tales nos comportamos. Incluso la presente exposición está diseñada para que otros la corroboren o rechacen, pero siempre bajo la conciencia inconsciente de que una vez aceptada por la mayoría, formará parte de la Realidad.

    Finalmente, se mencionó que era imposible demostrar si un objeto era real o no, dado que cualquier forma de conclusión llevaría a deducir absurdos. En ese sentido la demostración se encuentra formalmente en Sobre la indecidibilidad del problema ontológico, del 16 de Marzo de 2014.

    Es, pues, que contemplar la Realidad implica hacer partícipes a otras personas y definir qué “cosas” son reales, porque sólo aquéllas serán sujeto de una investigación. Si se desea cumplir eficazmente con esto último, será necesario leer consensos hechos por otras personas. Dichos consensos son publicados en libros o en artículos. Leyendo uno se deja convencer sobre la Realidad de tal o cual “cosa”. La investigación tiene como objetivo, al final de cuentas, ya sea corroborar los consensos ya establecidos, o bien, rechazarlos.

    Cabe mencionar lo siguiente: como en los libros y artículos están los consensos existentes, es fácil entender que la lectura nos llevará a tener nociones más amplias de la Realidad, permitiéndonos incluso ampliarlas por medio de nuevas investigaciones basadas en los textos leídos.

  2. Delimitando los objetos de la investigación

    ¿Se terminaría nuestra existencia si no leyéramos? Es decir, ¿moriríamos si no conociéramos de consensos tan amplios, más allá de aquellos implicando gente inmediata a nuestra cotidianidad? No, al contrario, ignorar consensos (a esto suele llamársele simplemente ignorancia) no implica en ningún sentido inmediato el exterminio de persona alguna. De lo contrario, todos los seres humanos ya estaríamos muertos: todos ignoramos consensos, porque no es posible abarcar pensamientos tan diversos y de tan distintas procedencias, sean de aquí o allá, del pasado del presente o del futuro. Sin embargo, es posible que de conocer consensos e investigar se tengan menos probabilidades de morir, quizá ya no como individuos, sino como especie humana que conformamos.

    Retomando el paso 2, una vez entendido un consenso, se delimitan los objetos de la investigación. Esto es, se toman algunos componentes de la Realidad –es posible escoger de entre los admitidos por un consenso ya existente–, y a discreción del investigador se añaden otros fuera del consenso estudiado, con tal de complementar la investigación si es necesario.

    Por ejemplo, está el consenso donde las nubes son reales, y donde el cielo también es real. En este caso las nubes y el cielo son objetos de una investigación potencial. De otra forma, está el consenso donde los aglomerados de agua condensada en partículas de polvo son reales, y donde la atmósfera con un 21% molar de oxígeno y 79% molar de nitrógeno, sosteniendo a los aglomerados mencionados, también es real. Así, cualquier “cosa” mencionada (por escrito o a voz viva) puede ser objeto de una investigación potencial.

  3. Delimitando los cambios a observar en los objetos de la investigación

    Confiando que el concepto de cambio (o variación) sea bastante intuitivo y que todos los lectores tengan nociones sobre él, se asumirá prescindible explicarlo. Luego, los objetos de la investigación cuentan con características, diversas, y es necesario seleccionar sólo algunas. Aquellas seleccionadas pueden ser modificadas para acentuarlas, disminuirlas, o bien, anularlas.

    Del ejemplo en el paso 2, quizá no sea posible para el investigador modificar por su voluntad el tamaño de las nubes, pero sí podrá observar el tamaño de las nubes existentes en el cielo. Entonces, el cambio delimitado es la variación en el tamaño de las nubes que se encuentran en el cielo.

    A menos de que el investigador se jacte de una memoria privilegiada, se recomienda escribir un registro de los cambios observados.

  4. Adaptando los cambios observados a una idea

    Los consensos se componen de ideas sobre lo que es real y lo que es irreal. Y una idea es lo que se encuentra en la mente (en la conciencia). Asimismo la conciencia es aquello que admitimos, de lo cual “caemos en la cuenta”. Las ideas, por consiguiente, establecen todo lo que concebimos y, finalmente, por el conocimiento de algún consenso, nos llevan a comprender la Realidad.

    Así, somos conscientes de los diversos tamaños de nube que hay. Luego, con el registro obtenido es posible establecer la idea de “mayoría” en el tamaño de las nubes. O sea, que podría observarse cuál es el tamaño de nube más común de entre las nubes observadas. También puede establecerse la idea de “minoría” en el tamaño de las nubes. Y aunque parezca obvio lo que se está mencionando, es necesario intentar explicar entre quienes conformen el consenso (el escritor y el lector, por ejemplo) qué son la “mayoría” y la “minoría”, a menos de tener la suficiente certeza de que nadie pondrá en tela de juicio el significado de dichas ideas.

    Por supuesto, hay ideas más complicadas que las anteriores: usualmente (aunque no necesariamente) se generan fórmulas matemáticas, que son ideas para relacionar los registros numéricos sobre los cambios en un objeto dado para distintas características que lo describen. Por ejemplo, podría observarse (medirse) la cantidad de agua que contiene una nube cuyo tamaño también ha sido observado. Luego, con una fórmula matemática se calcula la cantidad de agua en una nube, una vez que se conozca el tamaño de la misma.

    O bien, con otro ejemplo más cotidiano (no por ello insulso), las “cuentas” al ir de compras son en realidad ideas que podrían escribirse como fórmulas matemáticas y así conocer el precio total de 4 kg de manzanas a partir de conocer el precio de 1 kg. Las investigaciones, como se indicó al comienzo, abarcan variadas disciplinas del conocimiento. En el caso de los precios, correspondería a una investigación en Economía.

    Y como nunca se descartó que este método sirviera a los consensos dogmáticos, se expondrá un ejemplo de adaptación a una idea a partir de la Teología: en algún consenso se admitió irrefutablemente que Dios (el dios católico) nos permite conocer “cosas” paulatinamente. Luego, se desea investigar qué tan paulatino es el conocimiento que Dios permite. Así, en Teología, podría observarse cómo cambia el conocimiento con el paso del tiempo, contabilizando el número de publicaciones hechas en un año. Finalmente, con los registros generados se determina a qué ritmo Dios nos permite conocer “cosas”. Y, siguiendo el tenor del consenso, se dirá como conclusión que el ritmo del conocimiento a que estamos sometidos es determinación de Dios.

    Como no se busca en este texto dar preferencia a ningún tipo de consenso –la presente es una investigación sobre las investigaciones, no sobre los consensos–, se dirá que en otros consensos no se atribuye a ninguna deidad el conocimiento, sino a la voluntad misma del humano. Entonces los registros se tomarán para declarar el ritmo con que el humano busca comprender la Realidad, y no con que el dios católico quiere que el humano la comprenda.

    De cualquier forma, como se hizo notar desde el paso 1 –ahora se notará la importancia de mostrar los detalles sobre la Realidad– los consensos son arbitrariedades de las personas y ninguna opción es la “opción verdadera”. Porque ni siquiera sabemos si algún dios existe, o si el humano es real, apenas porque unos llegaron al consenso de que el primero existe y otros de que el segundo es el existente, el real. No podemos garantizar nada sobre la Realidad de las “cosas”.

    Es así que las investigaciones sólo nos dan mayor tranquilidad sobre lo que creemos conocer, pero no constituyen de forma contundente los cimientos para la existencia misma de las “cosas”. Es pues real y existente sólo aquello que deseemos que así sea.

    Las investigaciones sólo nos permiten creer más en lo que
    ya creíamos al principio, o bien, dejar de creer en lo que
    ya creíamos para creer en otra Realidad, misma que
    se constituirá en cualquier caso por las ideas a las
    cuales se adapten nuestras observaciones.

  5. Observar el comportamiento acorde al tipo de filosofía admitida

    Este es el último paso. Consiste en actuar de acuerdo a lo que creemos que es real. Si estamos de acuerdo con algún consenso dogmático (de los que nunca o casi nunca cuestionan sus determinaciones), las ideas del paso 4 tendrán que tomarse como un dogma adicional, proveniente de los dogmas anteriores a este nuevo. Y la misión será mantenerlo inamovible, pues en la veracidad de ello se cree convincentemente.

    Si, al contrario, se está de acuerdo con algún consenso escéptico (de los que suelen cuestionar sus determinaciones), las ideas del paso 4 tendrán que ser puestas en duda, efectuando nuevas observaciones, elaborando nuevas investigaciones (desde el paso 1) para verificar que las ideas del paso 4 en investigaciones previas describan, como dicen, las observaciones registradas.

    No obstante, como ya fue señalado, ni los consensos escépticos cambian a cada segundo (porque en alguna idea hay que confiar para considerar real lo que se crea real), ni los consensos dogmáticos son tan inamovibles (porque las personas cambian y tienden en algún instante a creer algo diferente a lo creído inicialmente). Es por ello que este último paso es sólo una descripción de lo que puede ocurrir tras una investigación, y no pretende en ninguna forma ejercer coerción sobre individuo alguno.

Las ideas a que se adaptan nuestras observaciones son el resultado de las investigaciones y sirven para constituir la Realidad en un instante dado, sea del presente o del futuro. Son las investigaciones lo que las personas emplean para constituir la Realidad e incluso permitirían admitir si hay algún presente o si habrá algún futuro, si las investigaciones son válidas o no, etc. Cualquier cosa resultará de las investigaciones, tan solo para seguir el instinto de creer en algún tipo de Realidad y sobrevivir a ella (o no).

12 de Octubre de 2014
 
 

viernes, 10 de octubre de 2014

SOBRE LA NATURALEZA DE LA FUNCIÓN DE COLLATZ Y OTRAS AFINES. DEMOSTRACIÓN DE LA CONJETURA DE COLLATZ

de Alfredo Salvador C. García
Ciudad de México
 
Lothar Collatz, quien propuso la conjetura
que lleva su nombre y que se pretende
demostrar en la siguiente exposición.


DEFINICIONES Y ACOTACIONES

Antes de comenzar la exposición pretendida, se manifestará la siguiente definición:

Número de Collatz: Aquel número natural obtenido a partir de
un número de Collatz con la función de Collatz.

Por ello se indicará cuál es la función de Collatz:

C(x)={1. p(x), si C(x) es par; 2. q(x), si C(x) es impar.
y p(x)=2·x; q(x)=·(x-1)

Dado que p(x) admite en su dominio a cualquier número natural, el dominio de C(x) incluirá también a cualquier número natural, independientemente del dominio restringido de q(x) –que sólo está dado para sucesores de múltiplos de 3 cuya tercera parte es impar–.

Aparte, el contradominio de C(x) incluye a todos los naturales, pues considera tanto C(x) siendo par como C(x) siendo impar, y no hay restricción para ello.


DEMOSTRACIONES

Ahora se demostrará el siguiente

Teorema I. Todos los números naturales son números de Collatz.

Dado que los números se obtienen a partir de la función de Collatz (según la definición correspondiente) y el contradominio de aquélla está dado por todos los números naturales, basta para demostrar el Teorema I que el dominio esté compuesto por números de Collatz. Y bien, como el dominio de la función de Collatz es idéntico al contradominio de la misma, el Teorema I queda demostrado inmediatamente.

El Teorema I permitirá demostrar el

Teorema II. Todo número natural arrojará como resultado el número 1 al emplearse en sucesivas y suficientes ocasiones la función inversa de Collatz.

Este teorema es equivalente al

Teorema III. Todo número de Collatz arrojará como resultado el número 1 al emplearse en sucesivas y suficientes ocasiones la función inversa de Collatz.

Esto porque el Teorema I permite reemplazar las palabras «número natural» por las palabras «número de Collatz» sin impedimento alguno. La función inversa de Collatz es la siguiente:

C-1(x)={1. p-1(x), si x es par; 2. q-1(x), si x es impar.
y p-1(x)=½·x; q-1(x)=3·x+1

El dominio de esta función está dado por todos los números naturales (o todos los números de Collatz). Dado que el contradominio de p-1(x) no está restringido a los números naturales en general, el contradominio de la función inversa de Collatz también está dado por todos los números naturales (o todos los números de Collatz), independientemente del contradominio de q-1(x).

Así, la función inversa de Collatz puede emplearse con cualquier número de Collatz y se obtendrá siempre un número de Collatz. Es, pues, dicha función –al igual que la función de Collatz– generadora de todos los números de Collatz. Entonces, en la definición del número de Collatz pueden reemplazarse las palabras «función de Collatz» por las palabras «función inversa de Collatz».

Por la forma algebraica tanto de p-1(x) como de q-1(x), es posible observar que cada número de Collatz es generado sólo por un único número de Collatz a partir de la función inversa de Collatz. Concretamente, primero, a cada número le corresponde una sola opción sea p-1(x) ó q-1(x); luego, toda función del tipo f(x)=m·x+b genera un resultado único. Esto igualmente se reconoce por los mismos argumentos para la función de Collatz, es decir, que cada número de Collatz es generado sólo por un único número de Collatz a partir de la función de Collatz.

Con ello, partiendo del número 1 (que es un número de Collatz) y empleando en sucesivas ocasiones la función de Collatz se obtendrán todos los números de Collatz sin excepción: el 1 genera otro número de Collatz, luego el resultante genera otro, luego otros, y así sucesivamente con el potencial de generar todos los números de Collatz pues ha de cubrirse todo el contradominio de la función de Collatz sin dejar un sólo número faltante. Con la función inversa ocurre lo mismo: un número de Collatz debe generar otro número de Collatz, el resultante genera otro, luego otro, y así sucesivamente hasta completar todo el contradominio que pueda cubrir. De tal forma, entre todos los números de Collatz (o entre todos los números naturales) se debe cubrir todo el contradominio de la función inversa sin dejar un sólo número faltante.

El número 1 es tal que ningún número de Collatz lo generaría de inmediato, salvo el número 2. Si se toman todos los números de Collatz para emplear la función inversa en sucesivas ocasiones, se terminarían generando todos los números de Collatz excepto 1 por esa condición especial. En cualquier caso siempre sería el último número en ser generado, no importando el número de partida. Y podría preguntarse si realmente todos los números de Collatz terminan generando tarde o temprano al número 1 de forma individual. La respuesta es afirmativa porque tras sucesivas ocasiones de emplear la función inversa, se generará un número de Collatz, luego otro, luego otro, hasta llegar o bien a generar todos los números de Collatz excepto 1, o bien a generar 1, pues para completar el contradominio de la función inversa es necesario generar dicho número.

En otras palabras,

  1. Todos los números de Collatz que no sean 1 son generados para cubrir por completo el contradominio de la función inversa de Collatz.
  2. Todos los números generados podrán generar otros números de Collatz que siendo distintos de 1 estén en las mismas condiciones propuestas en la frase anterior.
  3. Sin embargo, las dos frases anteriores no permiten generar todos los números de Collatz necesarios para cubrir por completo el contradominio de la función inversa de Collatz, pues siempre faltaría el número 1.
  4. Luego, ha de admitirse que en la naturaleza misma de la función inversa de Collatz está dado el generar el número 1 a partir de todos los números de Collatz restantes, pues se ha visto con las frases anteriores que la existencia misma de todos ellos no implica necesariamente la generación del número 1.

Y es por el argumento 4 que el Teorema III queda demostrado. Los argumentos 1 y 2 constituyen lo que en el Teorema III se menciona como «al emplearse en sucesivas y suficientes ocasiones la función inversa de Collatz [para todo número de Collatz]». El argumento 3 se refiere a la naturaleza matemática de la función inversa de Collatz. Finalmente, el argumento 4 es consecuencia de los tres anteriores y declara la validez del Teorema III.



OBSERVACIONES

La demostración propuesta es un equivalente en palabras de lo que podría ser formalmente, empleando lógica de primer orden. Esperando que no sea necesario la implementación de lógica formal explícita (porque sí ha sido empleada de forma implícita en la retórica), queda generalizar el resultado en cuestión.

La validez del Teorema III (cuya demostración es aquélla para la conjetura de Collatz) radica en la definición de la función inversa y en las características que llevan de la misma a que el número 1 no pueda generarse de forma inmediata si no es con el número 2. Es más, empleando la función de Collatz para el número 1, es hasta 8 donde siguen obteniéndose resultados que de ninguna otra forma podrían obtenerse, es decir, que 8 sólo puede obtenerse a partir de 16, 4 únicamente a partir de 8, y 2 únicamente a partir de 4. Esto significa que el Teorema III podría enunciarse reemplazando el número 1 por el número 2, ó el 4, ó el 8, e incluso el 16, porque todos los números tendrían que desembocar en éste para generar los mencionados.

Defínase, aparte, una función que dé pie a dos opciones de cálculo, y que en conjunto tengan como dominio y contradominio a los números naturales. También que las opciones de cálculo sólo generen un resultado cada una y que un número dado sólo genere un resultado al emplearse la función inversa, la cual también tendrá como dominio y contradominio a los números naturales. Entonces el Teorema III podrá enunciarse con plena validez como sigue

Todos los números naturales arrojarán como resultado el número dado al emplearse en sucesivas y suficientes ocasiones la función definida.

Esto porque los argumentos 1, 2, 3 y 4 se observarán de la misma forma que con la función inversa de Collatz. Por ejemplo, sea la función inversa siguiente:

f(x)={1. p(x), si x no es múltiplo de 3; 2. q(x), si x es múltiplo de 3.
y p(x)=x+1; q(x)=⅓·x

El dominio está dado por todos los números naturales, porque entre los múltiplos de 3 y el resto de los naturales los conforman. El contradominio es idéntico al dominio porque q(x) permite calcular todos los números naturales.

Asimismo, la función inversa a la anterior:

f-1(x)={1. p-1(x), si f-1(x) no es múltiplo de 3; 
2. q-1(x), si f-1(x) es múltiplo de 3

 y p-1(x)=x-1; q-1(x)=3·x

El contradominio de esta función abarca todos los números naturales, porque entre los múltiplos de 3 y el resto de los naturales lo conforman. También el dominio abarca todos los números naturales (con p-1(x) se calculan todos los números naturales, aun cuando con q-1(x) se calculan sólo múltiplos de 3). Cada forma de cálculo, p(x) y q(x), sólo permite obtener un resultado único, lo mismo que sus correspondientes formas de cálculo inversas, p-1(x) y q-1(x). Entonces, según lo propuesto es posible enunciar el siguiente teorema:

Todos los números naturales arrojarán como resultado el número 1 al emplearse en sucesivas y suficientes ocasiones la función f(x).

Nuevamente el número final será 1 porque su única procedencia es f-1(3). Si se intentare que, aparte, sea p(x)=x+10, algún dominio o contradominio de cualquiera de las funciones (inversa o no) no abarcaría todos los números naturales y no podría enunciarse el Teorema III en ese caso siendo que los argumentos de su demostración sólo son válidos si el dominio y el contradominio se conforman por todos los números naturales.

En resumen, para que la demostración presentada valide un teorema semejante al Teorema III dada una función, esta última debe de presentar los siguientes rasgos:

  1. Que su dominio y su contradominio estén conformados por todos los números naturales.
  2. Que lo mismo ocurra con la función inversa.
  3. Que ambas funciones generen dos opciones de cálculo con una sola respuesta posible cada una.
  4. Que la función inversa sólo genere un resultado al ser empleada.

Porque, insistiendo, sólo así se garantiza tanto que los argumentos 1 y 2 puedan establecer cálculos consecutivos y suficientes, y que por la naturaleza de la función los números naturales sólo den pie a la obtención de números naturales hasta completar todo el contradominio de la función, incluyendo al número que finalmente sea de procedencia única.

10 de Octubre de 2014