Teorema de incompletitud de Gödel


Kurt F. Gödel, en «Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines» [paráfrasis]:

«Existen argumentos lógicos imposibles de ser deducidos verdaderos o falsos; entre ellos, la coherencia de dichos razonamientos.»

La existencia verdadera o falsa de algo (por ejemplo, las piedras; al contrario, las hadas), no implica que la misma sea demostrable así, ni que deba o no tenerse fe en cualquiera de estas posibilidades.

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La creatividad surge de hallar –pensando diferente del resto– ideas absurdas, para así nuevamente pensarlas y darles coherencia.

Ahí la importancia de la Lógica: porque sólo con ella es posible tanto hallar los absurdos como obtener la coherencia.

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lunes, 6 de enero de 2014

ESTO, Y AQUELLO, A LA VEZ


Albert Einstein y Kurt Gödel, o
Kurt Gödel y Albert Einstein.


[Esta entrada participa en la XLVIII Edición del Carnaval de la Física alojado por @monzonete en el blog La Aventura de la Ciencia]


Fue sugerido en algún instante relativo de la existencia, quizá ayer para el observador en un marco de referencia más masivo (con mayor cantidad de masa), por el hombre que planteó el problema sobre la relatividad de la existencia, que la suma de dos manzanas que no eran manzanas sino nubes de incertidumbre (o de probabilidad, eso depende de cómo se vea el vaso, si medio lleno o medio vacío) haría que si una de ellas cayera, la otra tendría que ser de alguna forma por consecuencia de esto, moverse o no moverse, y, al final, la manzana que observaríamos en su caída determinaría las características de la manzana que sin deberla ni temerla estaría como fuese sólo porque la primera manzana existiera tal y como fuese.

Resultó que este destino irrompible entre las manzanas ocurría hasta una distancia de cien kilómetros, quizá más, y al final todos somos lo que otros ni siquiera quieren que seamos porque son tan manzanas que no poseen cerebro ni voluntad. En toda esa confusión, se sugirió que quizá el motivo para que todas las «cosas» del Universo, también, por supuesto, las manzanas, estuvieran determinadas sólo por la existencia improbable (o probable) de todo lo demás, sería un tipo de “característica oculta” imposible de medirse, pero al fin y al cabo existente. Entonces el teorema de Gödel salió a relucir como una posible explicación a todo el embrollo confuso acerca de las manzanas que no eran manzanas sino porque una estuviera presente tanto como la otra y que ambas se alterasen necesariamente, porque así tendría que ser.

Quizá exponer esa situación que ni siquiera podría ser catalogada como descabellada a priori, sino como incomprensible, no podría ser más claro con la implementación de unas manzanas hipotéticas. Entonces, parece mejor opción emplear bolas de billar. Así, Einstein dijo que si una bola de billar entraba en la buchaca, según la Física cuántica no era tanto porque fuese golpeada por otra bola, sino porque la bola destinada a golpearla siguió su camino en la mesa verde de sus andanzas, luego será tomada para otro juego, y aún porque meterá otras bolas de billar, la bola puede seguir en la misma buchaca (o no). Incluso no sería necesario que las bolas de billar chocaran, sino simplemente que fueran tal cuales eran para que, en definitiva, si una se moviese (o no) la otra entrase necesariamente en la buchaca (o no). Y si esto no queda claro con bolas de billar, será con pelotas de fútbol. A Einstein no le angustiaba (se hipotetiza) si el Barcelona –para quien lea este texto en el futuro distante, el Barcelona fue un equipo de fútbol, un juego donde se pateaba una pelota llena de aire hacia una red cóncava donde el equipo que lograra esto el mayor número de veces ganaba– anotaba más goles –que la pelota ingresase a la red cóncava– que el Real Madrid –otro equipo de fútbol– sino que según la Física cuántica (que él mismo fundó al proponer que la luz estaba hecha de partículas, a la vez que era ondas electromagnéticas como las señales de televisión y de radio) la pelota de fútbol entraría en la red no porque el pie del jugador y ella entrasen en contacto, sino porque el jugador se encontraba dispuesto a patearla justo antes de que aparentemente entraran en contacto: que de hecho ya estaban en contacto “invisible” desde antes de entrar en contacto “visible”, sólo porque el jugador tomó antes dicha pelota con sus manos y luego la dejó en el suelo verde de sus andanzas para poder marcar el penal.

Uno piensa, «Si yo le doy la mano a alguien, fue porque ambos estuvimos en contacto», pero según la Física cuántica no es así: se estrechan las manos porque estaban a punto de estrecharse y al final, nunca se tocaron sino que fueron una sola mano al mismo tiempo. Y después de estrecharse las manos, según Einstein dedujo, las manos seguirían siendo como eran porque habían sido estrechadas, una dependiente de la otra, como si continuasen siendo una sola mano. No serían las manos que fuesen a menos de que se hubiesen estrechado. Igualmente extraño suena este argumento hacia adelante o hacia atrás, es decir, hacia el pasado o hacia el futuro, antes de estrechar las manos o después de haberlo hecho. Igualmente extraño suena este argumento si en lugar de manos son manzanas, bolas de billar, o pelotas de fútbol, o galaxias o electrones. Da lo mismo. No obstante, ocurre para los electrones y, según la Física cuántica, también ocurre (aunque no sea apreciable) con las manzanas, las bolas de billar, las pelotas de fútbol (no importa que tan eficiente o ineficiente sea el equipo para organizarse), o galaxias y protones. Todo porque Einstein propuso que la luz era como bolas de billar que al moverse se comportaban como líquido formando ondas y que al llegar a su destino otra vez fuese como bolas de billar.

Fue culpa suya porque a partir de ello, Victor Louis de Broglie tuvo la misma idea pero aplicada a electrones, primero, y luego protones, pelotas de fútbol, bolas de billar, manzanas y galaxias. Resultó que era cierta la idea de de Broglie y, además, fue avalada por Einstein. Pero este último nunca estuvo de acuerdo en que las manzanas fuesen como eran sólo porque antes se estuvo en la disposición de patear una pelota de fútbol a cien kilómetros de distancia de una mesa de billar donde unos amigos se reunieron a jugar y enviciarse (o no). Intentando ridiculizar esta idea (en la cual se insiste, podría sustituirse la palabra «electrones» y sonaría igualmente ridícula a priori), escribió un artículo junto con Rosen y Podolski, pero como se trataba de genios no sólo se burlaron de la idea, sino que también propusieron cómo demostrar con experimentos que así de absurda era (o no) dicha idea. Realizados los experimentos, resultó que la manzana vista por Newton al caer no lo hizo así debido a la gravedad de la Tierra sino a que la manzana fue alguna vez parte de los minerales de la Tierra, y a que seguían siendo como una sola Tierra (¿o manzana?).

Esto no empataba, en contraste, con las ideas de Einstein, cuyos experimentos confirman que la masa de la Tierra dobla el espacio a su alrededor y que la manzana tiene que ser arrastrada por ese doblez hacia la superficie de la Tierra. Entonces se intentó explicar esto diciéndose que algo no se estaba midiendo porque era imposible de ser medido en los experimentos donde un electrón es encontrado como sea porque otro electrón que nada tendría que ver con este primero (en apariencia el destino de nadie depende exactamente de lo que ocurra en todo momento con aquellos a quienes se conoce, con quienes se ha estrechado manos) es hallado también como sea, no importa dónde. La explicación volvió a Einstein de una forma particular: el teorema de Gödel dice, en apariencia, esto, que hay cosas que a pesar de ser verdaderas (de existir) no pueden ser deducidas ni verdaderas ni falsas (no pueden medirse). Si no pudiese ser medido, sería imposible juntar tanto su idea sobre las manzanas que son ondas de incertidumbre (o probabilidad) y la idea sobre la curvatura del espacio debida a la inmensa masa de la Tierra (no tan inmensa como la del Sol). Quien dedujo ese teorema fue Kurt Friedrich Gödel, uno de los mejores amigos, si no es que el mejor, de Einstein. Como muestra, el hecho de que Einstein haya declarado que sólo asistía a Princeton –su lugar de trabajo– para conversar de regreso a casa junto a su amigo Gödel –su compañero de trabajo–.

Pero el teorema de Gödel no se refiere a las cosas que se miden, sino a las que se deducen.

En todo caso, el teorema de Gödel podría decir que la Física cuántica, con las ecuaciones que tiene y los despejes que en ella puedan realizarse (o no, pero sí estimarse con el uso de ordenadores; ¿o no?), no puede deducir en sí misma y con un poco de ayuda de la Lógica, que ella misma es verdadera, esto siendo el caso de que la Física cuántica sea efectivamente verdadera. El teorema de Gödel no está involucrado con las mediciones que puedan realizarse o no. Aún no podría saberse con lo que ya se sabe si existen «cosas» que no puedan medirse. Mientras no se cuente con una teoría de mediciones que describa cómo son las mediciones imposibles, y que esto sea verdadero, no podrá asegurarse nada al respecto. Aunque, en realidad se cuenta con un esbozo de dicha teoría hipotética: Heisenberg propuso que no podrían medirse con exactitud absoluta y simultáneamente la velocidad de una manzana, de una bola de billar, de una galaxia o un fotón, y su posición en el espacio, doblado o no por la Tierra, alejado o no de la Tierra. Pero esto no es lo que precisamente se busca para explicar que una manzana cayendo aquí pueda hacer que estrechemos las manos allá de manera inmediata tan sólo por haber tomado antes una manzana en la manos (o no). En concreto, asegura que no puede medirse eso -la velocidad y la posición exactas de una bola de billar porque no existe eso en el Universo. Pero la propuesta sobre los experimentos entre electrones entrelazados (así se le llama a la idea de que nuestras manos sean como son sólo por haberlas estrechado anteriormente con alguien) no dice que no pueda medirse aquello que relaciona a los electrones que a priori no deberían relacionarse porque no exista, sino porque aún existiendo no podría medirse porque así es aquello de lo que se está escribiendo aquí.

Pero, en principio, si existe aquello que relaciona eternamente a los electrones entrelazados, o a las manos estrechadas, o a las manzanas moviéndose, debería de ser posible dicha medición. Eso no es una imposición arbitraria: es un principio de la Ciencia. Si existe, es medible. El teorema de Gödel, por otra parte, asegura que hay leyes, teoremas o explicaciones que a pesar de ser verdaderas, a pesar de ser dichas y repetidas por genios como Einstein, o mejor, por Dios mismo si así se desea (quien así en él crea), no podrían ser deducidos que son verdaderos. Podría proponerse qué son esas cosas que son imposibles de medirse, y quizá no pueda deducirse si lo propuesto es verdadero o no, pero el teorema de Gödel no asegura si en la Naturaleza puede o no existir algo medible o no. Y así como algunos creen en la existencia de Dios (puede que yo crea o no en él, eso lo dejo al criterio del lector), se ha comenzado la cisma en la iglesia científica porque hay quienes creen que existe aquello imposible de medirse aunque eso exista, y hay quienes creen que todo lo que existe se puede medir. En consecuencia, hay quienes creen que la Física cuántica puede unirse en su totalidad con la teoría de la Relatividad, y hay quienes no lo creen.

De algo se puede estar seguro: si es mentira que exista lo que es imposible de medirse, jamás podría averiguarse (pues haría falta la medición respectiva para comprobarlo). Por el contrario, si es mentira que no exista lo que es imposible de medirse, tampoco podría ser comprobado nunca: haría falta la medición respectiva para comprobar que no existe lo que no es medible pero que existe. Esa cuestión, la generadora de la cisma científica, sí es susceptible de la Lógica y muestra la validez del teorema de Gödel. Entonces, se seguirán comiendo manzanas, las galaxias irán adonde tengan que ir, se seguirán proponiendo teorías, y nunca sabremos si creer lo uno, o lo otro, o bien, hacer como hacen las manzanas hechas electrones (¿o los electrones hechos manzanas?): creer en ambas cosas, pero en ninguna, a la vez.

6 de Enero de 2014
 

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