Teorema de incompletitud de Gödel


Kurt F. Gödel, en «Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines» [paráfrasis]:

«Existen argumentos lógicos imposibles de ser deducidos verdaderos o falsos; entre ellos, la coherencia de dichos razonamientos.»

La existencia verdadera o falsa de algo (por ejemplo, las piedras; al contrario, las hadas), no implica que la misma sea demostrable así, ni que deba o no tenerse fe en cualquiera de estas posibilidades.

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La creatividad surge de hallar –pensando diferente del resto– ideas absurdas, para así nuevamente pensarlas y darles coherencia.

Ahí la importancia de la Lógica: porque sólo con ella es posible tanto hallar los absurdos como obtener la coherencia.

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lunes, 13 de enero de 2014

SOBRE LAS MEDICIONES Y SUS CONSECUENCIAS DETERMINISTAS


De Alfredo Salvador C. García
Ciudad de México

Gödel

RESUMEN

Donde las consecuencias deterministas de las mediciones resuelven la cisma en la Física, entre Mecánica cuántica y Teoría de la relatividad.



I. DEFINICIÓN INTUITIVA DE MEDICIÓN

Sea un objeto. Aparte, se tiene una “caja” hipotética adonde éste es introducido. Dicha caja mide alguna característica del objeto, una propiedad. Si el objeto cumple la propiedad, la caja mostrará como resultado en alguna pantalla o panel, lo que fuere, un «sí». Por el contrario, si no cumple dicho objeto la propiedad, la caja mostrará un «no». Este esquema de razonamiento intuitivo es llamado medición. Por lo tanto, medir es reconocer alguna propiedad dado un objeto.

Puede simbolizarse el razonamiento con tal de formalizarlo. Así pues, si f(P)=sí, el objeto P cumple con f(P), la propiedad de tal objeto. Por el contrario, si f(P)=no, es que el objeto no cumple la propiedad. Un ejemplo de medición es el siguiente:

Se tiene una vara de 15 cm. Ésta es introducida en una caja imaginara de altura 15 cm según la regla que trae aunada dicha caja.

En realidad la regla tiene una gran variedad de cajas imaginarias que la atraviesan, pero eso no es relevante para la medición: la vara se introduce y embona perfectamente en la caja, entonces ésta le “dice” automáticamente al cerebro «sí». Que la vara sí mide 15 cm.

Otro ejemplo de medición es el siguiente:

Se tiene un balón de fútbol soccer. Éste es introducido a una caja imaginaria que le “dice” al cerebro si el objeto adentro es o no esférico. Para el caso, la caja anuncia «sí».

No se pone en duda, por el momento, con qué precisión cuentan las cajas de ambos ejemplos. En otras palabras, si se asume que las cajas pueden equivocarse en su veredicto, la precisión es con qué probabilidad aciertan. Esta probabilidad es determinada por el usuario de la caja medidora. Qué tan “buen diseño” le haya conferido a las cajas que construya el usuario con su criterio designa directamente la precisión en las mediciones. Incluso cuando las cajas medidoras son reales, si el usuario (o el fabricante que vende la caja al usuario) le confiere tales o cuales criterios al medir, influye directamente en la precisión de sus mediciones. Es así que algunos podrían decir que el balón no es esférico, esto porque sus cajas poseen una precisión mayor al resto, quienes tienen cajas cuya precisión es, por supuesto, menor.


II. PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE

Supóngase que hay una caja que mide la precisión de otras cajas medidoras. A esta caja le corresponde el símbolo π( ). Si la caja medida presenta una precisión de 1, es decir, nunca yerra el veredicto, entonces la caja que mide la precisión mostrará un «sí». Si ocurre lo contrario, que la caja presente una precisión menor a 1, entonces mostrará un «no».

Así, cuando la caja K es introducida a la caja medidora de precisión 1.0 (CMP1.0), puede tenerse tanto π(K)=sí como π(K)=no. ¿Qué ocurre si una CMP1.0 idéntica en todos sus aspectos a la CMP1.0 que evaluó a la caja K es introducida a esta última CMP1.0? Se tienen dos opciones:

1. π(CMP1.0)=sí. Por lo cual ambas CMP's serían de precisión 1, pues son idénticas en todos sus aspectos.
2. π(CMP1.0)=no. Por lo cual ambas CMP's serían de precisión menor a 1, pues son idénticas en todos sus aspectos.

Si el segundo caso ocurre, cabría la posibilidad de que la CMP1.0 medidora hubiese cometido un equívoco y, por consiguiente, no se tendría la certeza plena de que estas CMP's, ninguna de las dos –lo que se diga de una se dice intrínsecamente de la otra por ser idénticas en todo sus aspectos–, sean de precisión menor a 1. No obstante, tampoco cabe la posibilidad de que su precisión sea 1, pues ese «no» de la respuesta sería muestra de que, en efecto, no son de precisión 1 las CMP's. No importaría el número de mediciones por realizar: es imposible que las CMP's en la segunda opción tengan alguna precisión.

Si ocurre la primera opción, π(CMP1.0)=sí, no se tendría certeza de que la CMP1.0 medidora posea una precisión de 1 ó no, pues cabe la posibilidad de que su respuesta sea un equívoco. Naturalmente, esto habla por las dos CMP's. Tampoco importaría el número de mediciones por realizar: siempre cabe la posibilidad de que el «sí» sea erróneo. En el caso de que fuere erróneo, se presenta la segunda opción. Por lo tanto, no importando qué respuesta arrojen las CMP's, se tiene el siguiente

Teorema. «Es imposible que las CMP1.0 tengan alguna precisión.»

Entonces, tanto la fórmula π(K)=sí como la fórmula π(K)=no, siendo K cualquier caja que no sea CMP1.0, serían no sólo cuestionables, sino absurdas. Esto es, si un usuario no puede asignarle precisión a una caja, como las CMP's, es porque la caja no realiza medición alguna. Le es imposible realizarla. Esto se argumenta porque el concepto de medición implica necesariamente, y se ha mostrado con ejemplos, el concepto de precisión. Si una caja no puede tener precisión es porque no puede realizarse medición alguna que permita evaluar cuántos aciertos presenta la caja, así como cuántos equívocos. Cuando las mediciones son posibles, con cualquier valor de precisión, éstas han sido realizadas y permiten declarar que la precisión es una cantidad. Siendo imposible declarar algún valor de precisión, la caja en cuestión no mide.

Podrían sugerirse, por el contrario a las CMP's, un par de cajas idénticas entre sí que midieran si la precisión de otras cajas es 0 ó no. Sin embargo, esto equivaldría a tener unas CMP1.0: si la respuesta de las cajas sugeridas es «no», equivale a una respuesta «sí» de las CMP1.0. Asimismo, si la respuesta de las cajas sugeridas es «sí», equivale a una respuesta «no» de las CMP1.0. Convertir las cajas sugeridas (sean CMP0.0) en CMP1.0 es cuestión de un aditamento que incluso sea mental. Entonces se enuncia el siguiente

Principio de incertidumbre. «En ninguna medición la precisión puese ser 0 ó 1

Si según el Teorema no existen las CMP's por carecer de precisión, no puede garantizarse entonces que la precisión de otras cajas que no sean CMP's valga ya sea 0 ó 1. La única forma de lograr hallar un valor de precisión sería realizando varias mediciones y declarando si se obtuvo un acierto o un equívoco en cada una de ellas. Pudiéndose declarar aciertos hasta una medición dada k, nada asegura, en principio, que la medición k+1 no sea un equívoco. La incertidumbre (posibilidad de equívoco) es una cuestión intrínseca a las mediciones.


III. PRINCIPIO DE DETERMINACIÓN

Sea un objeto P con una propiedad j que al ser introducido en una caja medidora cualquiera presenta ante ella una propiedad no-j (una propiedad que no sea j).

Luego, este objeto P es introducido a una caja que mide si se presenta o no la propiedad j, asumiendo que la medición describe al objeto. Como es de esperarse, la caja responde «no». Lo que es más, la caja puede responder «no» en tantas ocasiones como se desee.

Primeramente, el principio de incertidumbre implica que aún teniéndose tantas veces como respuesta «no», existe la posibilidad de que ésta sea un equívoco. Puede entonces proponerse que

1. el objeto P posea la propiedad j aun durante la medición.
2. que no posea la propiedad j, sino que posea a la no-j.

Ambas son válidas y coherentes respecto al principio de incertidumbre. La primera implica que el «no» de la caja sea un equívoco. Esto lo permite el principio (la precisión no puede ser 1). La segunda implica que el «no» sea un acierto probable. Esto también lo permite el mismo principio (la precisión no puede ser 0).

Si la primera propuesta se acata, significa que P posee la propiedad j por ser P, pero que presenta la propiedad no-j por estar siendo medido.

Si la segunda propuesta se acata, significa que P posee la propiedad j al no ser medido, y que al ser medido posea la propiedad no-j y por ello la presente.

Sin embargo, P, para seguir siendo P, no debería modificar sus propiedades. De ahí que se empleara el verbo «presenta» en la definición de P. Que el objeto P presente no-j no implica necesariamente que posea no-j. Por lo tanto, se asume el siguiente

Principio de determinación. «Un objeto cualquiera no modifica en cualesquiera circunstancias sus propiedades.»

Del mismo P, el hecho de presentar no-j cuando es medido es una de sus propiedades. Si j fuese «presentar no-j», implicaría que P presentare j (porque no-j se está presentando y es una de las propiedades de P) y, a su vez, que presentare no-j (porque j se está presentando, es decir, «presentar no-j»), lo cual es absurdo. Así el principio de determinación asegura que sea posible la existencia de objetos como P que no modifiquen sus propiedades, pero que sí modifiquen la presentación de éstas ante cualquier medición. El principio de determinación asegura que j no sea una propiedad «presentar no-j»: si P no puede modificar sus propiedades, y «presentar no-j» es una de ellas, j no puede ser «presentar no-j» pues esto modifica la propiedad «presentar no-j». Que j sea «presentar no-j» viola el principio de determinación. La propiedad j sólo puede ser «presentar no-j cuando es medido».


IV. MEDICIONES FÍSICAS. RELATIVIDAD EN LA COMPLEMENTARIEDAD ONDA-CORPÚSCULO

Los principios que se refieren a las mediciones son coherentes entre sí y por ello se tomarán para analizar las mediciones en la Física; la intención es resolver algunas cuestiones sobre Mecánica cuántica que en apariencia son contradictorias respecto a la Teoría de la relatividad de A. Einstein, o bien, lo que ha sido más intrigante desde la formulación de la Mecánica cuántica, que parecen no tener una interpretación de acuerdo al sentido común.

***

El principio de incertidumbre de Heisenberg indica la imposibilidad de medir con precisión 1 y de manera simultánea tanto la velocidad como la posición de un objeto en el espacio-tiempo. Esto, sin duda, es compatible (no halla contradicción) con el principio de incertidumbre aquí planteado. Sin embargo, las interpretaciones alrededor suyo son incompatibles con el principio de determinación.

Concretamente, cuando un fotón impulsa a alguna otra partícula, se está midiendo tanto la velocidad como la posición de ésta. La interpretación hasta ahora aceptada es que al ocurrir la colisión (la interacción entre el fotón y la partícula), la partícula se “difunde” de manera probabilística a través de todo el espacio-tiempo. Así, es imposible determinar con precisión 1 tanto la posición de dicha partícula como su velocidad de manera simultánea. No obstante, Einstein observó que la partícula no estaría cumpliendo el principio de determinación: deja de ser corpuscular y pasa a ser ondulatoria (se forma una onda de probabilidad para la posición y para la velocidad de la partícula), lo cual implica una paradoja en sí. La partícula está modificando sus propiedades corpusculares por unas ondulatorias.

La solución a esta aparente paradoja radica en lo siguiente: así como el objeto P poseía la propiedad j aunque presentaba la no-j al ser medido, una partícula sigue siendo de posición y velocidad corpusculares respecto a ella aunque se presenta ante los detectores (medidores de la partícula) como una onda de probabilidad en el espacio-tiempo.

La frase «la partícula respecto a ella» significa que de tomar nosotros como observadores el lugar de la partícula (si nos convirtiésemos en ella) no hallaríamos cambio alguno en su naturaleza. Incluso el cambio de presentación ante los detectores nos parecería no solamente normal, sino ineludiblemente necesario. Por el contrario, la persepectiva siendo nosotros solamente observadores lleva a medir que su posición y su velocidad se presentan como ondas de probabilidad. Esto viene a apoyar la interpretación que ofreció en su momento N. Bohr, afirmando que tanto el carácter ondulatorio como el carácter corpuscular de una partícula sólo eran «dos caras de la misma moneda», y que ambas características eran así complementarias. Lo que faltó por aclarar en esta interpretación fue el carácter relativo de ambas perspectivas: para quien mide la propiedad probable de la partícula (como la posición), ésta se presenta como onda; para quien no mide dicha propiedad (como la partícula –ella misma no se mide, en principio–), se presenta como un corpúsculo. Por supuesto, lo que permitió afirmar que las partículas se “difundieran” como ondas fue la invariancia de la carga y el momento angular ante los detectores. Esas propiedades de la partícula no se modifican: sólo cambian la velocidad y la posición, propiedades relativas al marco de referencia desde donde se midan.


V. MEDICIONES FÍSICAS. RESOLUCIÓN DE LA PARADOJA EPR.

No es de extrañar que de esta forma la paradoja EPR sea resuelta en consecuencia. Planteada por Einstein, Podolosky y Rosen, propone que si dos electrones interactúan (colisionan), al dejar de interactuar se propagan como ondas de probabilidad no sólo en cuanto a la posición y sus coordenadas temporales se refiere, sino también en cuanto a su espín . Mientras interactuaban, sus espines eran diferentes. Los espines, según la Mecánica cuántica, de dos electrones que interactúan nunca pueden ser iguales (principio de exclusión de W. Pauli). Los electrones sólo tienen dos opciones de espín: ó es 1/2 ó es -1/2. Durante la colisión, si un electrón tiene espín 1/2, el otro necesariamente tiene espín -1/2. Sin embargo, al estar un electrón independiente del otro, ya en su forma ondulatoria, el espín de ninguno de ellos se conoce mientras no sean medidos.

Los tres científicos razonaron que al ser independientes dichos electrones después de haber colisionado, no habría motivo para que sus espines dependieran uno del otro. La Mecánica cuántica deduce que, por el contrario, los espines de los electrones son complementarios en todo momento posterior a la colisión, y si se conoce la medición de uno de ellos, el espín del otro resulta ser otro de los dos posibles. Las mediciones confirman esto: los electrones están, en todos los casos hasta el momento observados, relacionados por sus espines. Esto es, aun después de haber interactuado, los electrones siguen relacionados entre sí por sus espines como si aún estuvieran interactuando.

Nuevamente, Einstein (quien nunca estuvo de acuerdo con las interpretaciones ofrecidas para la Mecánica cuántica en sus significados intuitivos, según el sentido común) pone de manifiesto otra violación al principio de determinación. Porque siendo los electrones independientes ya ocurrida la colisión, deberían poseer cada uno espines independientes, característicos de la también independencia de los electrones. Si las mediciones efectuadas tienen como resultado que los espines son dependientes es por lo siguiente: cuando no se miden los espines de los electrones dicha propiedad adquiere forma ondulatoria respecto a quienes podrían medir a los electrones en sus características corpusculares, aquellas invariantes; respecto a los electrones, los espines son iguales que en el instante de haber ocurrido la colisión. Para los electrones (que no efectúan, ni pueden efectuar, medición alguna) los espines no adquieren forma ondulatoria, probabilística, y se conservan tal y como son, pero sí la adquiere su presentación ante los detectores. Para quienes pueden medirlos, sólo se observa una onda probabilística de espines y al ser nuevamente detectados como corpúsculos, los espines lucen relacionados, como si aún estuvieran interactuando los electrones.

Por lo tanto, los electrones después de la colisión efectivamente ya no interactúan, pero eso sólo pueden manifestarlo los electrones hacia ellos mismos; quienes pueden medir no logran distinguir con los electrones de espines ondulatorios si las partículas siguen interactuando o no y podrían asumir que sí lo hacen. Asumir que también respecto a los electrones sus espines adquieren forma probabilística es equivalente a asumir que el objeto P definido anteriormente presentaba la propiedad no-j porque la poseía. Se observó que tal consideración para el objeto P era compatible con el principio de incertidumbre; asimismo esto fue el motivo que no había permitido resolver la paradoja EPR, es decir, asumir que los electrones eran efectivamente ondulatorios (en cuanto a espines, posiciones y velocidades) respecto a ellos mismos.

Cabe mencionar que un electrón al no interactuar es incapaz de percibir cómo está el espín del otro: también se perciben mutuamente como partículas probabilísticas. En esa forma, es imposible que puedan interactuar, puesto que ya no se encuentran interactuando: los electrones son mutuamente ondas probabilísticas por no estar interactuando. El electrón podría hallar tan extraño como Einstein halló este hecho, pero se justifica a través del principio de determinación así como ya se ha expuesto. El electrón que percibe a su contraparte se manifiesta a sí mismo como un corpúsculo, y percibe a la contraparte como un objeto de incertidumbre. La contraparte se percibe a sí misma como un corpúsculo y percibe al primer electrón como un objeto de incertidumbre. Ambos electrones son corpúsculos de espines contrarios inmodificables (por el principio de determinación) aunque independientes a partir de la colisión, pero ninguna de las observaciones puede medirlo con la certeza debida (por el principio de incertidumbre).


VI. MEDICIONES FÍSICAS. UNIFICACIÓN DE LA MECÁNICA CUÁNTICA Y LA TEORÍA DE LA RELATIVIDAD

Estos dos últimos apartados sobre mediciones físicas confirman que tanto las interpretaciones similares a Bohr como las similares a Einstein sólo eran, así como las partículas al ser tanto ondas como corpúsculos, el anverso y el reverso de la misma Física. Particularmente, la paradoja EPR mostraba una clara violación no sólo al principio de determinación, sino también al principio de invariancia de la velocidad de la luz que implica, hasta el momento según se sabe, que ésta sea el máximo permitido en el Universo para objetos en movimiento. Si dos electrones independientes podían determinar mutuamente sus espines de manera simultánea (como si estuvieran repentinamente interactuando), la información de un espín se estaría transmitiendo de forma inmediata, a una velocidad “infinita” –superior a la de la luz–. De ahí que Einstein no hallara coherencia entre su propia Teoría de la relatividad y la Mecánica cuántica, ambas tan correctas según las mediciones elaboradas para confirmarlas.

Entonces, ambas teorías son, de hecho, partes complementarias de la misma Física. Por un lado, la Mecánica cuántica describe cómo se observan los objetos (y cómo se comportan) respecto a quienes miden –o podrían medir–. La Teoría de la relatividad explica cómo se observan (y también cómo se comportan) los objetos respecto a sí mismos. La formulación de los principios de incertidumbre y de determinación permite hallar la conexión entre las dos teorías más representativas de la Física y, a su vez, permite unificarlas. Por ejemplo, con esa propuesta es fácil de explicar porqué la Teoría de la relatividad parece tener un dominio absoluto sobre la descripción de los objetos grandes, masivos, mientras que la Mecánica cuántica parece estar vedada a éstos.

Porque una partícula posee el carácter ambivalente que la determina, ser onda cuando se la observa como medidor y ser corpúsculo respecto a ella misma. Si el número de partículas aumenta, la incertidumbre sobre la posición y la velocidad de éstas juntas disminuye. Si esto ocurre, todas ellas se manifiestan menos ondulatorias respecto a los detectores y, por lo tanto, más corpusculares. De tal forma que un objeto de tamaño habitual, compuesto por varias partículas, ya no sólo se observa corpuscular respecto al objeto, sino también respecto a los medidores. Por ello, el carácter corpuscular parece predominar en los objetos masivos y como ese carácter es descrito por la Teoría de la relatividad exclusivamente, parece estar restringida dicha teoría a explicar sólo los objetos masivos, aunque en realidad es válida en todos los casos corpusculares, tanto objetos masivos como partículas manifestadas a sí mismas. A su vez, la Mecánica cuántica es válida en todos los casos donde los objetos sean presentados como ondas, es decir, en objetos cuya incertidumbre de posición y velocidad (y cualquier propiedad en sí) es “alta”, por ejemplo, moléculas no poliméricas, átomos, complejos químicos, etc., y específicamente en partículas manifestadas ante los detectores.

Las uniones que previamente han relacionado ambas teorías transitan, sin hacerlo patente, entre la perspectiva de las partículas y la perspectiva de los detectores. Una de ellas es la deducción de las antípartículas hecha por P. Dirac. Asume, a grandes rasgos, que la energía está cuantizada y que una partícula al pasar de una región con energía negativa a otra de energía positiva deja un “hueco” en la parte de energía negativa que corresponde a la antipartícula de la partícula trasladada. Una partícula sólo puede pasar de una región a otra porque se convierte en onda: así, la partícula puede encontrarse con un valor de incertidumbre en la región de energía positiva y con otro valor de incertidumbre en la región de energía negativa; luego la partícula adquiere mayor certidumbre en la región de energía contraria a la original y, finalmente, ahí adquiere su carácter corpuscular nuevamente. Su velocidad en ese tránsito no puede rebasar la velocidad de la luz. Y así ocurre realmente: las partículas y las antipartículas existen y han sido observadas en reacciones diversas entre varias partículas.

La perspectiva de Dirac osciló entre la forma corpuscular para respetar el límite de la velocidad de la luz y la forma ondulatoria para permitir el tránsito entre regiones de energía distintas. Lo que observaría la partícula en su tránsito de una región a otra es lo siguiente: como se encuentra midiendo la energía de las regiones, ésta no es uniforme en el espacio, sino una onda de incertidumbre a través de él. Entonces puede atravesar sin dificultad las regiones donde la incertidumbre permite “dudar” que haya realmente energía en ellas. Así hasta alcanzar su posición en la región de energía contraria. Respecto a la partícula, ésta nunca adquirió carácter ondulatorio; lo adquirió la energía en ambas regiones. Y esto no contraviene en ningún instante a la Teoría de la relatividad, puesto que la partícula se mueve a una velocidad que no rebasa la de la luz. De hecho, su movimiento durante todo el tránsito se ve regido por dicha teoría, esto respecto a la partícula. Como los argumentos de Dirac permiten asimilar a las partículas como ondas y como corpúsculos, entonces le es posible relacionar tanto a la Mecánica cuántica como a la Teoría de la relatividad, obteniendo resultados consistentes con la realidad experimental.


VII. CONCLUSIÓN

A partir de los principios intrínsecos a las mediciones fue posible resolver las cuestiones intuitivas que mayor dificultad generaron desde el planteamiento de la Mecánica cuántica. Las aparentes paradojas que se presentaban surgían del paradigma que contradecía al principio de determinación. No tenerlo formalmente definido fue la causa de haber asumido que todos los objetos muestran ciertas características ante las mediciones porque así las poseen, cuando esto lleva precisamente ya no sólo a contradicciones en la Física, sino también a contradicciones lógicas elementales (que P muestre como propiedad tanto a j como a no-j).

Por lo demás, aún puede confiarse en que ambas teorías físicas sean válidas para describir la realidad. Sólo es cuestión de interpretarlas como corresponde: Mecánica cuántica para manifestaciones ondulatorias y Teoría de la relatividad para manifestaciones corpusculares. Ambas se hayan relacionadas por los objetos que observan, pero la forma en que los observan hace surgir las diferencias.

12 de Enero de 2014

[Esta entrada participa en la XLVIII Edición del Carnaval de la Física alojado por @monzonete en el blog La Aventura de la Ciencia]


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