REGLA DE L'HÔPITAL. DEMOSTRACIÓN

Johannes Bernoulli, demostrador

de la regla de L'Hôpital

Teorema. Sean dos funciones f y g continuas

en todos sus puntos, tales que f(a)=0 y g(a)=0.

Entonces

lím_x→a f(x)/g(x) = lím_x→a f_x(x)/g_x(x)

se cumple (Regla de L'Hôpital)

·

Demostración:

1. f_x(x)/g_x(x) = {lím_h→0 [f(x+h)-f(x)]/h}/{lím_h→0 [g(x+h)-g(x)]/h}, por la definición de la derivada [El teorema fundamental del Análisis (o del Cálculo), 16 de Julio de 2014],

2. f_x(x)/g_x(x) = lím_h→0 {[f(x+h)-f(x)]/h}/{[g(x+h)-g(x)]/h}; porque el cociente de límites es igual al límite del cociente [Lo que involucra el límite, 20 de Julio de 2013].

3. f_x(x)/g_x(x) = lím_h→0 [f(x+h)-f(x)]/[g(x+h)-g(x)], efectuando el cociente, simplificando.

4. lím_x→a f_x(x)/g_x(x) = lím_x→a lím_h→0 [f(x+h)-f(x)]/[g(x+h)-g(x)], representando el cálculo del límite cuando x→a.

5. lím_x→a f_x(x)/g_x(x) = lím_h→0 lím_x→a [f(x+h)-f(x)]/[g(x+h)-g(x)], porque se cumple la igualdad

lím_x→a lím _y→b f(x,y) = lím_y→b lím _x→a f(x,y),

[La derivada de la función exponencial del límite «e»,

27 de Noviembre de 2014; Teorema 3]

6. lím_x→a f_x(x)/g_x(x) = lím_h→0 [f(a+h)-f(a)]/[g(a+h)-g(a)], siempre y cuando existan f(a) y f(a+h), lo mismo que g(a) y g(a+h), no importando el valor de h, situación que se garantiza cuando tanto f como g son continuas en todos sus puntos, de acuerdo a la definición de continuidad [Lo que involucra el límite, 20 de Julio de 2013].

7. lím_x→a f_x(x)/g_x(x) = lím_h→0 f(a+h)/g(a+h), si es que f(a)=0 y g(a)=0 (segunda parte de la condición en la regla de L'Hôpital).

8. lím_x→a f_x(x)/g_x(x) = lím_h→0 lím_x→a f(x+h)/g(x+h), que es posible porque tanto f como g son continuas en todos sus puntos.

9. lím_x→a f_x(x)/g_x(x) = lím_x→a lím_h→0 f(x+h)/g(x+h), por lo mencionado en 5.

10. lím_x→a f_x(x)/g_x(x) = lím_x→a f(x)/g(x), nuevamente porque f y g son continuas en todos sus puntos. O,

11. lím_x→a f(x)/g(x) = lím_x→a f_x(x)/g_x(x), que es la regla de L'Hôpital,

sin olvidar las especificaciones necesarias dadas en 6 y 7.

∎

·

Para finalizar, un ejemplo. Se calculará lím_x→2 (x²-4)/(x-2) de forma independiente a la regla de L'Hôpital y posteriormente haciendo uso de ella, obsérvandose que es realmente válida.

1. lím_x→2 (x²-4)/(x-2) = lím_x→2 (x+2)·(x-2)/(x-2), factorizando el numerador.

2. lím_x→2 (x²-4)/(x-2) = lím_x→2 (x+2), efectuando el cociente.

3. lím_x→2 (x²-4)/(x-2) = 4, porque la función x+2 es continua en todos sus puntos, puede solamente sustituirse x por 2; y queda calculado el límite, independientemente de la regla de L'Hôpital.

Aparte, se calculará el mismo límite considerando la regla.

Nótese que f(x) = x²-4, g(x) = x-2, siendo ambas continuas en todos sus puntos (pueden calcularse f, g, y los límites respectivos para cualquier valor de x, además de que los límites son iguales a los valores f y g). Asimismo, f(2) = 0, g(2) = 0, y con lo anterior indica que es posible emplear la regla de L'Hôpital. Entonces

1. lím_x→2 (x²-4)/(x-2) = lím_x→2 2·x/1, porque f_x(x)=2·x y g_x(x)=1, como lo requiere la regla.

2. lím_x→2 (x²-4)/(x-2) = lím_x→2 2·x, simplificando, y lím_x→2 (x²-4)/(x-2) = 2·2, sustituyendo x por 2 dado que 2·x es continua en todos sus puntos. Finalmente,

3. lím_x→2 (x²-4)/(x-2) = 4, que es idéntico al valor calculado previamente.

1 de Febrero de 2015,

de las 12.51 a las 13.42