Teorema de incompletitud de Gödel


Kurt F. Gödel, en «Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines» [paráfrasis]:

«Existen argumentos lógicos imposibles de ser deducidos verdaderos o falsos; entre ellos, la coherencia de dichos razonamientos.»

La existencia verdadera o falsa de algo (por ejemplo, las piedras; al contrario, las hadas), no implica que la misma sea demostrable así, ni que deba o no tenerse fe en cualquiera de estas posibilidades.

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La creatividad surge de hallar –pensando diferente del resto– ideas absurdas, para así nuevamente pensarlas y darles coherencia.

Ahí la importancia de la Lógica: porque sólo con ella es posible tanto hallar los absurdos como obtener la coherencia.

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lunes, 5 de septiembre de 2016

OBSERVACIONES DEL ARTÍCULO «SOBRE LAS PROPOSICIONES FORMALMENTE INDECIDIBLES DE LOS PRINCIPIA MATHEMATICA Y SISTEMAS AFINES»

 Kurt Gödel y su esposa, Adele Porkert


Para aprehender con mayor facilidad el contenido del artículo «Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines» se han escrito las "Observaciones".

Con ellas se explica el significado de algunos tecnicismos utilizados por Gödel para demostrar sus teoremas de incompletitud, lo mismo que se da a entender porqué él hizo algunas deducciones, es decir, se especifican los motivos que se siguieran en el contexto del relativamente afamado «Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme».

Todo esto con el fin de aclarar las ideas que originalmente se pretendió expresar, sin la existencia de intermediarios sean divulgativos o académicos. Así, únicamente se ofrece una guía para analizar la demostración de Gödel con mayor facilidad, si esto es posible, con tal de acercarse más a las palabras exactas del lógico demostrando que los razonamientos lógicos tienen límites debido a la existencia de la aritmética.

05 de Septiembre de 2016


sábado, 27 de agosto de 2016

CODEX DEDUCTIONEM ET RATIO. EL CÓDICE DE LAS DEDUCCIONES Y LOS MÉTODOS


Como parte de la "familia" de los códices, el «Codex deductionem et ratio» o «Códice de las deducciones y los métodos» muestra la parte formal sobre la perspectiva del autor acerca de la realidad.

Este códice es una colección de textos donde se incluyen deducciones lógico-matemáticas tanto en el ámbito puro como en el ámbito aplicado a la Física y la Química, argumentaciones en áreas como la Economía o la Sociología, y métodos artísticos, particularmente sobre Poesía.

Con ello se intenta reunir la experiencia adquirida a través de 6 años de observación e inconformidad con distintos razonamientos acerca de la naturaleza. Se pretende, pues, cuestionar algunas formas de conocimiento vigentes, cuya razón de ser no tiene cabida bajo una mirada más estricta de las cosas. Por ejemplo, el uso del símbolo del "infinito" cuando la definición formal del límite sólo admite escribir 1/n→0 tal que puedan deducirse resultados con precisión, y no por mera especulación.

En otros casos se ha buscado simplificar demostraciones tales como la del Teorema de Abel, la de la hipótesis del continuo o la del teorema de Gödel. El único caso en el que hasta el momento se ofrece una demostración relativamente famosa e inédita es para la conjetura de Collatz, donde a pesar de tener evidencia numérica de su validez y argumentos sólidos, el autor espera juicios de todo tipo hacia la misma (y hacia el resto del libro) con tal de otorgarle validez, si la tiene.

Finalmente, se convoca (como igualmente se hace en el códice) a emplear este libro como esquema nuclear para obras similares. Si alguien dedicado al ramo de la Biología encuentra convenientes algunas cuestiones indicadas, se encuentra en plena libertad de usar los argumentos presentados y modificarlos como le sea útil. O si alguien de Informática busca apoyarse en estas incipientes descripciones matemáticas para elaborar software, está en total autorización de hacerlo. Esto siempre y cuando se haga referencia tanto de la autoría original como de la libertad que fue concedida (ver licencia GNU). Y si alguien desea emplear el libro entero para complementarlo o seccionarlo y ofrecer una nueva enciclopedia de demostraciones y métodos, tiene el permiso de hacerlo bajo las condiciones señaladas.

27 de Agosto de 2016


sábado, 30 de julio de 2016

INDECIDIBILIDAD DE LA CONJETURA DE GOLDBACH (ESBOZO)

El siguiente es un esbozo sobre la demostración de la indecidibilidad de la conjetura de Goldbach (que no sea posible demostrarla ni cierta ni falsa).

Se conforma de tres etapas de razonamiento. La primera consiste en demostrar que los números primos no pueden calcularse inductivamente (no existe fórmula para calcularlos uno a uno de manera ordenada, con base en los números naturales).

La segunda etapa consiste en relacionar el resultado anterior con los requerimientos mínimos para que la conjetura de Goldbach sea demostrada.

La tercera etapa consiste en generalizar la indecidibilidad de la conjetura observada en la segunda etapa para todos los métodos de deducción potenciales.


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Primera etapa:

Obsérvese un caso matemático usual, por ejemplo, n(i+1)=n(i)+(i+1) con n(1)=1. Con este esquema de secuencia es posible calcular n(i)=½•i•(i+1), que es la fórmula de inducción correspondiente. Esto es, que n(i) puede calcularse con una fórmula en función únicamente de i.

Si los números primos se calculan de manera suficiente (sin necesidad de otras definiciones) a partir de la criba de Eratóstenes, la determinación de n(i+1) que representa al primo i+1 depende no sólo de n(i) y una función j(i), sino también de n(i-1), n(i-2), etc. hasta n(1)=2.

Como sea un requisito fundamental para la inducción que n(i+1) sólo dependa de n(i) y una función j(i), queda demostrado que no es posible inducir los números primos, o sea, que no hay fórmula que permita calcularlos a partir sólo de su posición en el listado de primos.


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Segunda etapa:

Demostrar la conjetura de Goldbach requiere de demostrar que existe una paridad (relación biunívoca) forzosa entre al menos algún primo desde 2 hasta n y algún primo desde n hasta 2•n-1.

Esto porque todos los pares 2•n mayores a 2, son susceptibles de descomponerse en la suma de dos números, el primero entre 1 y n, y el segundo entre n y 2•n-1. Dado que para la conjetura de Goldbach sólo son relevantes los casos de pares de sumandos primos, basta para demostrarla con saber que existe siempre al menos un par de primos, uno desde 2 hasta n y otro desde n hasta 2•n-1, que coinciden haciendo en suma el número 2•n.

Para establecer dicha coincidencia se debe hallar una fórmula (si existe) para calcular los primos entre 2 y n, y otra fórmula para hallar los primos entre n y 2•n-1. Esas fórmulas, para obtener una generalización, deben basarse en la posición que representan en el listado de los primos desde 2 hasta n, y desde n hasta 2•n-1.

Esas posiciones se relacionan en una función que permita el cálculo de los pares de primos coincidentes, tales que permitan calcular, sumados, un número par.

La cuestión es que los números primos no son inducibles en forma general (casos particulares son los polinomios que calculan primos) y por ello no es posible establecer un teorema sobre las condiciones que debe cumplir el par de primos respecto a la suma 2•n.

Entonces, por esta forma de análisis del problema, la conjetura de Goldbach resultaría indecidible, es decir, que la conjetura no es demostrable por medios matemáticos ni cierta ni falsa.

Y esto es así porque en la ausencia de una regla que relacione a los primos en cuestión con 2•n no es posible asegurar si siempre habrá primos que sean sus sumandos o no.


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Tercera etapa:

La indecidibilidad es una propiedad que debe mantenerse para todos los métodos matemáticos, y no sólo para la propuesta de la etapa anterior.

Si no fuera así, se deducirían absurdos: que por unos métodos la conjetura sea, por decir, verdadera y por otros métodos indecidible. Debe quedar en todos los casos indecidible.

Así, sólo basta pensar que la Matemática es coherente en sí misma (aunque no pueda demostrarse matemáticamente) para deducir que la conjetura de Goldbach es indecidible para cualquier propuesta de razonamiento.


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Nota: Esta demostración es válida siempre y cuando las reglas parciales de inducción para los primos no puedan relacionarse "en cadena" tal que terminen formando una regla general.

Sin embargo, eso es improbable: si la conjetura es así indecidible, también resulta indecidible saber si existen reglas parciales que en conjunto formen una regla general.

30 de Julio de 2016


viernes, 1 de enero de 2016