Teorema de incompletitud de Gödel


Kurt F. Gödel, en «Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines» [paráfrasis]:

«Existen argumentos lógicos imposibles de ser deducidos verdaderos o falsos; entre ellos, la coherencia de dichos razonamientos.»

La existencia verdadera o falsa de algo (por ejemplo, las piedras; al contrario, las hadas), no implica que la misma sea demostrable así, ni que deba o no tenerse fe en cualquiera de estas posibilidades.

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La creatividad surge de hallar –pensando diferente del resto– ideas absurdas, para así nuevamente pensarlas y darles coherencia.

Ahí la importancia de la Lógica: porque sólo con ella es posible tanto hallar los absurdos como obtener la coherencia.

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viernes, 14 de agosto de 2015

EL ORIGEN DE LAS CRISIS ECONÓMICAS MODERNAS: A 44 AÑOS DE HABER ABANDONADO EL PATRÓN ORO EN EL MUNDO

 Lingotes y monedas de plata. Fuente de la imagen: Hunden


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El 15 de agosto de 1971 anuncia el presidente de los Estados Unidos, R. Nixon, la suspensión temporal en la entrega de oro de la reserva a cambio de dólares. A 44 años de aquella declaración, la suspensión ha adquirido de manera forzada un carácter permanente.

Antes de esa fecha existía una equivalencia fija entre el dólar estadounidense y el oro, lo cual se conoce como patrón oro. No importando cuál fuera dicha equivalencia (35.00 dólares por onza de oro desde 1944), era una que definía al dólar como divisa confiable para el intercambio comercial, porque su valor no fluctuaría siendo equivalente con el metal, cuyo valor (no precio) ha sido fijo a través de la historia –el oro permite comprar casi la misma cantidad de productos que era posible comprar en el pasado–.

Con ello el comercio internacional habría de consistir en:


  1. La compra de productos extranjeros (importación) en cantidades casi equivalentes a la venta de productos nacionales hacia otros países (exportación).

    De aquí en adelante sólo se mencionará con la palabra productos a los bienes y servicios.

  2. En el caso de que no fueran casi equivalentes las cantidades de importación y exportación con un país determinado, sería compensada la diferencia entre ambas con el pago en dólares (mediante restricciones arancelarias y demanda en el finiquito de deudas, principalmente).


Dicho pago sería equivalente a un valor fijo en oro, por lo cual los intercambios comerciales adquirirían certidumbre. De no existir la equivalencia con el oro, el dólar hubiera tenido un valor fluctuante que implicaría incertidumbre respecto a los intercambios comerciales llevados a cabo y aquellos por efectuar.

La equivalencia entre el dólar y el oro se determinó en los Acuerdos de Bretton Woods, cuando se estableció el llamado Nuevo Orden Económico Internacional, políticas con las cuales se estimularían los intercambios comerciales entre naciones, generando desarrollo económico e industrial alrededor del mundo. Esto porque, según como ha sido descrito el comercio internacional, los países pobres tendrían que ofrecer recursos naturales a los países industrializados para adquirir tecnología en cantidades equivalentes, observándose una distribución homogénea del progreso técnico, siempre y cuando lo permitieran los políticos de cada país (y así teóricamente mientras lo permitieran los ciudadanos de los países democráticos).

El dólar sirvió de referencia porque Estados Unidos adquirió en la década de los 40 casi el 80% del oro del mundo, en gran parte por la venta de armas hacia Europa durante la Segunda Guerra Mundial. Así, teniendo Estados Unidos una influencia preponderante en el mundo por la posesión de oro y por no estar plenamente involucrados (al menos no territorialmente en comparación con los países europeos) en la Segunda Guerra, se admitieron las circunstancias de estabilidad política del país (ausencia de conflictos internos relevantes), consiguiendo admitirlas también para el dólar en el ámbito económico.

Sin embargo, años más tarde el conflicto armado contra Vietnam, y en general contra la Unión Soviética, llevaría a los Estados Unidos a intercambiar el oro adquirido (resguardado en la reserva) por armas y cualesquiera productos militares. La situación se mantuvo a tal grado que dejó de ser posible hacer equivalente al dólar con el oro: algunos países europeos (Francia, principalmente) comenzaron a solicitar el oro correspondiente a los dólares que tuvieran en su poder, siendo el gobierno de los Estados Unidos incapaz de cubrir esa demanda, demostrándose que la equivalencia entre el dólar y el oro ya no sería viable con el valor establecido en 1944.

La medida razonable para hacer frente a los hechos hubiera sido establecer una nueva equivalencia entre el oro y el dólar, donde se requiriera una mayor cantidad de dinero en papel para el intercambio del metal. Esto hubiera implicado la devaluación del dólar frente al oro: mientras más lejos se encontrara el dólar respecto al oro en valor, sería cada vez más difícil adquirir oro con el dinero en papel, indicando que el dólar no valiera tanto como se pretendía anteriormente.

No obstante, ello no ocurrió. Para evadir las circunstancias R. Nixon opta por retirar la garantía de intercambio entre dólares y oro (la suspensión de entrega del metal) y así no disminuir la cantidad en la reserva, pudiendo continuar la adquisición de productos militares destinados a los conflictos armados, además de situar al oro solamente como un producto más en intercambios comerciales y no como el medio para los mismos (sería una mercancía, y no una forma de divisa internacional como antes se considerase).

Esto tiene por consecuencia que el oro adquiriera un precio, mismo que ascendería mientras hubiera una mayor demanda del metal, dado que muchas personas deseando el oro orillarían a que el vendedor pretendiera incrementar el precio para así obtener mayores ganancias. (Cabe notar que este razonamiento es igualmente válido con otros productos.)

La ruptura entre el oro y el dólar tendría otro efecto: podrían imprimirse en Estados Unidos de manera arbitraria más dólares para sus intercambios comerciales (de importación). Con ello podrían pagar los estadounidenses productos requeridos en los conflictos armados, dada la confianza que el dólar gozaba aún entre los países.

Y con una mayor presencia, dígase cada vez más exagerada, de dólares en el mundo, se efectuaron mayores intercambios comerciales fuera de los Estados Unidos, es decir, se incrementó la demanda de todos los productos. Como fue mencionado, ello significa también un incremento en los precios de los mismos, incluyendo al oro. Esto frenaría posteriormente el número de intercambios comerciales. Con ello, para continuar estimulando el intercambio de mercancías el gobierno estadounidense imprimiría más dólares con el sucesivo incremento en los precios, todo esto de manera indefinida.

En la actualidad esta situación perpetuada ha tenido consecuencias destructivas a nivel social, que en conjunto son llamadas crisis. Éstas son:


  1. La continua devaluación del dólar frente a los productos de intercambio comercial.

    Porque al incrementarse indefinidamente los precios, debido a la constante impresión de dólares, resulta cada vez más difícil que una cantidad de dicha divisa al día de hoy permita comprar productos diversos en el futuro.

    Así, los ahorros en dólares (y en el resto de divisas que aún dependen comercialmente del dólar y no del oro) ya no implican la preservación del valor que inicialmente tuvieron, careciéndose de certeza en la satisfacción de cualesquiera necesidades con el paso del tiempo.

  2. Desigualdad

    Porque ya no es posible pensar que las diferencias entre importaciones y exportaciones puedan compensarse con el intercambio de dólares, siendo que la divisa se devalúa de manera continua y no permite asegurar que en verdad exista en el futuro la compensación buscada.

    Ello involucra que sea posible un número exagerado de importaciones hacia un país respecto al de exportaciones (el caso más notable está dado por los países de Occidente con Asia), más una introducción considerable de dólares que posteriormente y por la devaluación de la divisa no permiten satisfacer por igual las necesidades de todos los individuos del país importador.

  3. Desempleo

    Las exportaciones siendo menores que las importaciones también significan una baja presencia en el país importador de empresas nacionales ofreciendo productos a sus compatriotas, y siendo aquéllas las mayores generadoras de empleos se presenta una menor cantidad de éstos, acentuando más la desigualdad: no todos los individuos tendrán la posibilidad de adquirir un pago por el trabajo que pueden realizar, para satisfacer sus necesidades.


Todo lo anterior puede resumirse en la siguiente reflexión: el valor del dólar sin equivalencia con el oro está dado por la confianza en un pago que ya no está respaldado por el metal. Dicho pago prometido es en realidad deuda que las personas tienen con los bancos y que el gobierno de los Estados Unidos constantemente absorbe para sustentar la emisión de dólares: el gobierno intercambia la divisa (que certifica la deuda absorbida) por productos. (De ahí que las divisas basadas en papel sean llamadas dinero fiduciario.) Y las personas en todo el mundo siguen intercambiando productos y reciben a cambio dólares (y monedas equivalentes en papel, es decir, cualquier tipo de divisa) que son la “garantía” de un pago a futuro.

Una cuestión crucial es ¿quién de manera ordinaria está en el deseo de pagar una deuda, sobre todo si ésta se encuentra documentada de manera anónima? (Porque ninguna divisa declara el nombre de las personas que habrían de pagar el valor correspondiente al gobierno de los Estados Unidos, que tendría a su vez que devolver dicho pago a los poseedores de dólares) Tal grado de desconfianza ante la posesión de una deuda cuyo pago muy posiblemente nunca será efectuado es lo que subyace en los fenómenos de crisis.

Mientras más dólares haya circulando por el mundo, significa que existe una cantidad cada vez mayor de deuda, que de no ser pagada nunca, habrá sido en realidad una mentira con la cual se habrán llevado a cabo negocios que al final sólo serán ficción, o se habrá intentado preservar el valor del trabajo en forma de ahorros que se desvanecerán, y todo el valor que se habrá creído tenía el mundo conocido en realidad no lo tendrá nunca más.

En tiempos donde dicha mentira aún no ha sido admitida en su totalidad por los ciudadanos del mundo valdría la pena asegurarse de que el dinero en forma divisas de cualquier tipo sea convertido en productos que no pierdan su valor en el futuro, que hoy en día tiene perspectivas no menos que catastróficas. Más aún, se recomienda comprar productos que impliquen empleo, y mayor riqueza a los trabajadores. Objetos que no pierden valor con el tiempo son los siguientes:


  1. Oro y plata.

    Ningún otro metal tiene el prestigio del oro o de la plata en cuanto a su valor, respaldado por milenios de historia comercial y también por las necesidades industriales que hoy representan.

    Asimismo, ningún otro objeto posee la característica que permite al oro y a la plata ser dinero en un sentido verdadero (y no de deuda intercambiada): ninguno de los dos puede tener un precio de mayoreo y otro de menudeo, lo cual es signo de que en verdad conservan el valor del trabajo cuando son adquiridos.

  2. Terrenos.

    Porque el espacio, en términos prácticos, no aparece ni desaparece con el paso del tiempo, además de contener siempre recursos naturales o artificiales (como las construcciones y lo que hay en ellas).

  3. Conocimientos.

    Porque las ideas no pierden validez cuando constituyen un saber verdadero acerca del Universo. Cualesquiera leyes de la Naturaleza (en Física, Química, Matemática, etc.) siguen siendo tan válidas como lo fueron hace miles de millones de años.

Por si solos los metales preciosos, los terrenos y los conocimientos no implican mayor riqueza a las personas: sólo conservan el valor del trabajo a través del tiempo –en particular los conocimientos almacenan el valor de generaciones centenarias de investigadores estudiando a la Naturaleza–. No obstante, estos objetos en conjunto permiten construir fábricas, bibliotecas, hospitales, escuelas, etc., todos ellos establecimientos donde el trabajo de los individuos permite la generación de riqueza y el acceso a condiciones de igualdad tanto por los empleos que conllevan como, y lo que es más importante, por la realización personal que las personas tienen al aprovechar sus talentos, con una vida plena, y la garantía de tener satisfechas las necesidades igualmente en el presente que en el futuro.

14 de Agosto de 2015


 
 

domingo, 12 de julio de 2015

TRANSFORMACIÓN RIEMANNIANA: LA INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN, A TRAVÉS DE LA FUNCIÓN INVERSA


Diagrama. La integral de la función para el intervalo
señalado, es igual al área debajo de la curva que
describe la función al interior de dicho intervalo.


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La exposición a continuación está titulada




y puede descargarse desde el vínculo.

A grandes rasgos, se presenta una alternativa para el cálculo de la integral de una función, a través de la función inversa correspondiente, siempre que la primitiva de ésta sea conocida o que el cálculo de la misma pueda obtenerse con métodos conocidos.

12 de Julio de 2015

 

sábado, 11 de julio de 2015

SOBRE EL METABOLISMO Y LA CUANTIFICACIÓN DE SUS CAUSAS

La pirámide alimenticia, símbolo del
metabolismo en un individuo
humano sano.

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A continuación se presenta el texto


donde se establecen las relaciones de potencia básicas para el análisis del metabolismo en un individuo que consuma energía a partir de sus alimentos.

11 de Julio de 2015
 
 

lunes, 27 de abril de 2015

GÖDEL

 
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Feliz cumpleaños, Gödel,
porque sabiendo y, vivo,
pensando así, cautivo
do en forma tan creativa

pudiste a las razones
tener cuan recursivo;
porque soñando, esquivo,
te fiases de tu diva,

domando a ti intuiciones;
y todo aquello exhibo
lejano, y lo percibo
debido a que invasiva,

pensando en tus pasiones,
y axiomas, y elusivo
lo tanto que concibo,
remito en la misiva

perfidia en ilusiones
que indecidible cribo
y a tono, permisivo,
te dono en vía masiva.

27 de Abril de 2015

Nota:  La ö se lee intentando
pronunciar "o" y "u" a la vez.

 

sábado, 28 de marzo de 2015

EL TEOREMA DE TAYLOR

Donde se demuestra el teorema en cuestión.


 

 
 Brook Taylor, retrato.


La demostración incluye algunas implicaciones inmediatas (resultados analíticos).


28 de Marzo de 2015


viernes, 6 de febrero de 2015

EL MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON



«Yo, Joseph Raphson de Londres, admito y acuerdo para y con el Presidente, el Consejo y los miembros de la Real Sociedad de Londres la mejora del conocimiento sobre la Naturaleza»

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Sea una función f(x) continua en todos sus puntos. Se busca de ella el valor de la raíz x = a, es decir, que se cumpla f(a) = 0.

Siendo para g(x) = x-a que g(a) = 0, es posible expresar lo siguiente:

1. límx→a f(x)/g(x) = límx→a fx(x)/gx(x), por la regla de L'Hôpital (Regla de L'Hôpital. Demostración, 1 de Febrero de 2015) en virtud de que f(a) = 0, g(a) = 0 y tanto f como g son continuas en todos sus puntos.

2. límx→a f(x)/(x-a) = límx→a fx(x), porque gx(x) = 1.

3. f(a+δ)/[(a+δ)-a]-ε = fx(a+δ)-ε', calculando los límites representados en 2. [Lo que involucra el límite, 20 de Julio de 2013]

4. f(xk)/(xk-xk+1)-ε = fx(xk)-ε', si se representa xk = a+δ y xk+1 = a, estando xk “antes” que xk+1, de forma convencional.

5. xk+1 = xk-f(xk)/[fx(xk)+ε-ε'], se deduce de la expresión en 4., observando dependiente xk+1 de xk.

6. xk+1 = xk-f(xk)/fx(xk), porque aritméticamente nada impide que ε y ε' sean iguales con algún valor δ.

Esta última expresión indica la posibilidad de calcular un valor xk+1 = a partiendo de otro xk = a+δ distinto al primero. Sin embargo, se desconoce cuál sea el valor xk que dirija inmediatamente el cálculo hacia xk+1 = a, la raíz de f(x).

Por tal motivo se sugiere que siendo xk+1 ≠ a, éste sea considerado como un nuevo xk pretendiendo calcular finalmente xk+1 = a.

Esto porque al existir el caso donde xk permite calcular de forma inmediata xk+1, se observaría la misma tendencia entre cualesquiera xk y xk+1 previos que no presentaran dicha característica, donde |xk+1-a| sea menor que |xk-a|, de manera sucesiva hasta que finalmente |xk+1-a| = 0, el menor valor posible.

Ello es una suposición, no obstante, de ser cierta terminaría por garantizar que se logre observar el caso donde efectivamente xk+1 = a. En otras palabras, porque la sugerencia permite obtener como conclusión la validez en la expresión en 6, es considerada también válida. Y porque existen pruebas sobre la veracidad de la suposición, se asumirá en adelante que es cierta en todos los casos, aunque existe la posibilidad de demostrar en qué casos no sea así, o bien, que efectivamente la sugerencia sea correcta en todos los casos donde f(x) sea continua en todos sus puntos.

Resumiendo: es posible calcular la raíz de una función f(x) continua en todos sus puntos, valiéndose de la expresión en 6., partiendo de un x0 que permita calcular un x1, luego de éste un x2, y así sucesivamente hasta un xk+1 = a, que sería la raíz buscada puesto que f(a) = 0. Esta secuencia de pasos es conocida como el método de Newton-Raphson.

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Por ejemplo, se calculará el número π hallando una de las raíces de la función f(x) = sen(x), porque se sabe que sen(π) = 0. Así,

1. xk+1 = xk-sen(xk)/cos(xk), retomando la expresión en 6., siendo la derivada fx(x) = cos(x) [La derivada de las funciones seno y coseno, 1 de Febrero de 2015]

2. xk+1 = xk-tan(xk), porque la función tangente está dada convencionalmente como tan(x) = sen(x)/cos(x).

Se partirá de un valor x0 = 3 para calcular x1. Así se selecciona de entre la gran variedad de números reales porque se conoce de antemano que π ronda un valor aproximado de 3. Si se eligiera x0 = 6, el resultado final sería otro, es decir, 2·π.

Esto porque la derivada es un límite que sólo describe el comportamiento de la función f(x) entorno a x por medio de x+h, y mientras h sea cada vez mayor (no cumpliéndose que h→0), la función será descrita deficientemente. [El teorema fundamental del Análisis, 16 de Julio de 2014]. Para el caso, la diferencia entre π (que se conoce aproximadamente como 3.14) y 6 es mucho mayor que la diferencia entre π y 3, y por ello es que x0 = 3 permite calcular π, no así x0 = 6.

3. x1 = x0-tan(x0), o bien, x1 = 3-tan(3) y queda x1 = 3.14255. Nótese que inicialmente se ha calculado la primera aproximación dada de π como 3.14; sin embargo, no es el valor de la raíz buscada porque sen(3.14255) = -0.00095. Entonces se sigue con

4. x2 = x1-tan(x1), o bien, x2 = 3.14255-tan(3.14255) y queda calculado el valor x1 = 3.14159. Porque sen(3.14159) = 0.00000, se dice encontrada la raíz siendo π = 3.14159.

Aquello es sólo de una estimación a 5 dígitos. Con 6 cifras decimales sen(3.14159) = 0.000003, lo cual muestra que el cálculo no es fundamentalmente correcto. Aun así es un valor aproximado aceptable siempre que se requiera conocer únicamente 5 cifras del número π.

Además, este ejemplo evidencia que la naturaleza del método es tal como se predijo.

Del 2 al 7 de Febrero de 2015
A las 00.05


domingo, 1 de febrero de 2015

LÍMITE DEL COCIENTE ENTRE EL SENO Y EL ÁNGULO CUANDO ÉSTE TIENDE A CERO

Donde se demuestra que límφ→0 sen(φ)/φ=1.


 


Fragmento de la demostración.


La demostración parte de argumentos intuitivos, geométricos, independientes del uso de la regla de L'Hôpital.


1 de Febrero de 2015.
Texto: 2 de Enero de 2015.


LA DERIVADA DE LAS FUNCIONES SENO Y COSENO

Teorema 1. La derivada de la función seno es la función coseno.


Demostración.

1. f(x) = sen(x), expresando la función seno.

2. fx(x) = límh→0 [sen(x+h)-sen(x)]/h, porque la derivada se define

fx(x) = límh→0 [f(x+h)-f(x)]/h.

3. fx(x) = límh→0 [sen(x)·cos(h)+sen(h)·cos(x)-sen(x)]/h, desarrollando el seno de la suma, considerando la identidad

sen(a+b)=sen(a)·cos(b)+sen(b)·cos(a)

4. fx(x) = límh→0 {sen(x)·[cos(h)-1]+sen(h)·cos(x)}/h, agrupando términos semejantes.

5. fx(x) = límh→0 {sen(x)·[cos(h)-1]/h+sen(h)·cos(x)/h}, que es equivalente a la anterior.

6. fx(x) = límh→0 sen(x)·[cos(h)-1]/h+límh→0 sen(h)·cos(x)/h, porque el límite de la suma es igual a la suma de límites [Lo que involucra el límite, 20 de Julio de 2013].

7. fx(x) = límh→0 sen(x)·límh→0 [cos(h)-1]/h+
+límh→0 sen(h)/h·límh→0 cos(x),

porque el límite del producto es igual al producto de límites.

8. fx(x) = límh→0 sen(x)·0+1·límh→0 cos(x),

porque límh→0 [cos(h)-1]/h=0 y límh→0 sen(h)/h=1. Posteriormente se demostrará que los límites son correctos.

9. fx(x) = límh→0 cos(x), de acuerdo con lo anterior. Finalmente,

10. fx(x) = cos(x), porque el límite de una constante (cos(x) no depende de h y es constante para dicha variable) es igual a la constante misma. Esto demuestra el Teorema 1.


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Teorema 2. La derivada de la función coseno
es el recíproco aditivo de la función seno.


Demostración.

1. f(x) = cos(x), expresando la función coseno.

2. fx(x) = límh→0 [cos(x+h)-cos(x)]/h, porque la derivada se define

fx(x) = límh→0 [f(x+h)-f(x)]/h

3. fx(x) = límh→0 [cos(x)·cos(h)-sen(h)·sen(x)-cos(x)]/h, desarrollando el coseno de la suma, considerando la identidad

cos(a+b)=cos(a)·cos(b)-sen(b)·sen(a).

4. fx(x) = límh→0 {cos(x)·[cos(h)-1]-sen(h)·sen(x)}/h, agrupando términos semejantes.

5. fx(x) = límh→0 {cos(x)·[cos(h)-1]/h-sen(h)·sen(x)/h}, que es equivalente a la anterior.

6. fx(x) = límh→0 cos(x)·[cos(h)-1]/h-límh→0 sen(h)·sen(x)/h, porque el límite de la suma es igual a la suma de límites.

7. fx(x) = límh→0 cos(x)·límh→0 [cos(h)-1]/h+
 -límh→0 sen(h)/h·límh→0 sen(x),

porque el límite del producto es igual al producto de límites.

8. fx(x) = límh→0 cos(x)·0-1·límh→0 sen(x),

porque límh→0 [cos(h)-1]/h=0 y límh→0 sen(h)/h=1. Posteriormente se demostrará que los límites son correctos.

9. fx(x) = -límh→0 sen(x), de acuerdo con lo anterior. Finalmente,

10. fx(x) = -sen(x), porque el límite de una constante (sen(x) no depende de h y es constante para dicha variable) es igual a la constante misma. Esto demuestra el Teorema 2.


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Como se mencionó en 8 para ambos teoremas, se demostrará que los límites mencionados son correctos:

Teorema 3. Se cumple límh→0 [cos(h)-1]/h = 0.


Demostración.

1. f(h) = cos(h)-1, se define. Asimismo, g(h) = h.

2. fh(h) = -sen(h), considerando de f(h) que la derivada de la suma es igual a la suma de las derivadas [La derivada de la función exponencial del límite «e», 27 de Noviembre de 2011; Teorema 2]. Para el caso, la derivada de cos(h) es, según el Teorema 2, -sen(h); aparte, la derivada de -1 es 0.

3. gh(h) = 1, que es la derivada de g(h) = h.

4. límh→0 f(h)/g(h) = límh→0 fh(h)/gh(h), siempre y cuando f(0) = 0 y g(0) = 0, además de que f y g sean continuas en todos sus puntos, según la regla de L'Hôpital [Regla de L'Hôpital. Demostración, 1 de Febrero de 2015]. Por ello, siendo f(h)=cos(h)-1 y g(h)=h se cumplen ambos requisitos y

5. límh→0 [cos(h)-1]/h = límh→0 -sen(h)/1, es válido.

6. límh→0 [cos(h)-1]/h = -sen(0)/1, que es posible porque -sen(h) es continua en todos sus puntos. O bien,

7. límh→0 [cos(h)-1]/h = 0, porque sen(0) = 0. Con ello se demuestra el Teorema 3.


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Análogamente será para el

Teorema 4. Se cumple límh→0 sen(h)/h = 1.


Demostración.

1. f(h) = sen(h), se define. Asimismo, g(h) = h.

2. fh(h) = cos(h), porque la derivada de sen(h) es, según el Teorema 1, cos(h).

3. gh(h) = 1, que es la derivada de g(h) = h.

4. límh→0 f(h)/g(h) = límh→0 fh(h)/gh(h), siempre y cuando f(0) = 0 y g(0) = 0, además de que f y g sean continuas en todos sus puntos, según la regla de L'Hôpital. Por ello, siendo f(h)=sen(h) y g(h)=h se cumplen ambos requisitos y

5. límh→0 sen(h)/h = límh→0 cos(h)/1, es válido.

6. límh→0 sen(h)/h = cos(0)/1, que es posible porque cos(h) es continua en todos sus puntos. O bien,

7. límh→0 sen(h)/h = 1, porque cos(0) = 1. Con ello se demuestra el Teorema 4.


1 de Febrero de 2015,
a las 19.28